Leere Menge Teilmenge einer jeden Menge [Mengentheorie]

27.01.2014, 15:08

ElaMiNaTo

Leere Menge Teilmenge einer jeden Menge [Mengentheorie]

Hoi,

Definition Teilmenge: Eine Menge A ist eine Teilmenge der Menge B, wenn und nur wenn alle Elemente in A auch in B enthalten sind.

Definition Leere Menge: Die leere Menge enthält keine Elemente.

Warum ist jetzt jetzt die leere Menge eine Teilmenge einer jeden Menge?

Sei A die leere Menge und B irgendeine Menge.

So soll anscheinend u.a. ein Beweis dazu geführt werden:
Es ist wahr, dass ich in der leeren Menge A nicht ein einziges Element finden kann, welches NICHT in B wäre (das ist für mich logisch). Nach dem System der zweiwertigen Logik müsste ich jetzt wohl darauf schließen?, dass ALLE Elemente der leeren Menge in B sind.

Aber die leere Menge hat per Definitionem keine Elemente. Warum ist das kein Widerspruch in sich? Nach dem System der zweiwertigen Logik müsste man wohl darauf schließen, dass die leere Menge Elemente hat aber die die leere Menge ist definiert als Menge, welche keine Elemente besitzt...

Wo ist mein Denkfehler?

Danke Big Laugh

27.01.2014, 15:42

10001000Nick1

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Es müssen ja alle Elemente aus A in B enthalten sein, damit $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ ist.
Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ keine Elemente hat, also die leere Menge ist, dann ist tatsächlich jede Aussage, die mit "Für alle $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ gilt: ..." gilt, wahr. Also auch die Aussage "Für alle $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a\in B. \end{eqnarray*}$ "
Hört sich vielleicht erstmal komisch an, ist aber so. Augenzwinkern

Die Begründung hast du ja schon geliefert: Die Aussage "Für alle $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ gilt: ..." ist das selbe wie "Es gibt kein $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ , für das nicht gilt: ..." Und da es in der leeren Menge nun mal keine Elemente gibt, muss diese Aussage stimmen.

Ein anderes Beispiel wäre auch: "Für alle $\begin{eqnarray*} a\in\emptyset \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a+1=a+2. \end{eqnarray*}$ "
Diese Aussage ist wahr, obwohl die Gleichung $\begin{eqnarray*} a+1=a+2 \end{eqnarray*}$ offensichtlich für keine Zahl erfüllt ist.

Dagegen ist jede Aussage, die mit "Es existiert ein $\begin{eqnarray*} a\in\emptyset \end{eqnarray*}$ , sodass gilt: ..." falsch. Also z.B. auch "Es existiert ein $\begin{eqnarray*} a\in \emptyset \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} 1=1 \end{eqnarray*}$ ist."

27.01.2014, 16:57

ElaMiNaTo

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Sorry, ich bin sowas von konfuselchen.

Also vielleicht nochmal um den Knackpunkt meiner wirren? Logik zu verdeutlichen:
Es existiert ja kein Element in der leeren Menge. So ist die Definition.

Und die Definition einer Teilmenge sagt ja, dass jedes Element der Menge A auch in der Menge B enthalten sein müssen.

Bei der Definition der Teilmenge wird ja also doch von der Existenz von mindestens EINEM Element ausgegangen, welches sowohl in der Menge A als auch in der Menge B enthalten ist. Die leere Menge hat aber keine Elemente und deshalb kann sie niemals eine Teilmenge sein [Edit: Eben deshalb weil die Definition der Teilmenge die Existenz von Elementen vorraussetzt].

So meine Logik aber das ist ja wohl falsch nur: Warum? Ich sehe keinen Fehler.

27.01.2014, 18:20

10001000Nick1

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Zitat:

Original von ElaMiNaTo
Bei der Definition der Teilmenge wird ja also doch von der Existenz von mindestens EINEM Element ausgegangen

Na eben nicht. "Für alle $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a\in B \end{eqnarray*}$ " könnte anders formuliert so lauten: "Falls etwas in A ist, muss es auch in B sein". Und da sollte eigentlich klar sein, dass nicht vorausgesetzt wird, dass A ein Element enthalten muss.

27.01.2014, 21:41

ElaMiNaTo

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Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Original von ElaMiNaTo
Bei der Definition der Teilmenge wird ja also doch von der Existenz von mindestens EINEM Element ausgegangen

Okay wandeln wir den falls satz mal in harte Aussagenlogik um:
Falls etwas in A ist, muss es auch in B sein kann umgeschrieben werden in:

Es kann nicht der Fall sein, dass etwas in A ist und nicht gleichzeitig in B.
In Symbolform:

~(A & ~B) (ich sollte mal latex besser lernen)

Auf die leere Menge bezogen:
Es kann nicht der Fall sein, dass es ein Element in der leeren Menge gibt, welches nicht auch in der Menge B ist.
A = Es gibt ein Element in der leeren Menge
B = Dieses Element ist auch in B enthalten

A und B sind offensichtlich falsch, soweit ich hier hoffentlich nichts falsch gemacht habe Big Laugh

Wenn ich diese Interpretation für ~(A & ~B) benutze kommt am Ende tatsächlich wahr heraus. Es ist also nicht der Fall, dass etwas in der leeren Menge wäre und nicht gleichzeitig in B ist. Damit wäre die Sache dann klar.

Aber eine Sache interessiert mich dennoch:
Wie kann ich erkennen, dass "Für alle $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a\in B \end{eqnarray*}$ " dass, es sich hier nur um ein FALLS handelt? Das sehe ich nämlich überhaupt gar nicht.

27.01.2014, 22:25

10001000Nick1

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Zitat:

Original von ElaMiNaTo
Aber eine Sache interessiert mich dennoch:
Wie kann ich erkennen, dass "Für alle $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a\in B \end{eqnarray*}$ " dass, es sich hier nur um ein FALLS handelt? Das sehe ich nämlich überhaupt gar nicht.

Da gebe ich dir Recht, dass das wirklich erstmal nicht einleuchtend klingt. Da haben viele Probleme mit. Von der "Alltagssprache" ist man so etwas nun mal nicht gewöhnt. Augenzwinkern

Aber Mathematikersprache ist manchmal etwas anders als Alltagssprache.

Für mich ist die logischste Erklärung das, was ich oben schon geschrieben hatte: "Für alle $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a\in B \end{eqnarray*}$ " ist äquivalent zu "Es gibt kein $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} a\not\in B \end{eqnarray*}$ ist." Und die letzte Aussage ist für $\begin{eqnarray*} A=\emptyset \end{eqnarray*}$ offensichtlich wahr.

Wenn man zeigen will, dass die leere Menge Teilmenge jeder anderen Menge ist, kann man das auch mit einem Widerspruchsbeweis machen: Angenommen, es gibt eine Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \emptyset\not\subseteq B. \end{eqnarray*}$ Dann muss es ein $\begin{eqnarray*} a\in\emptyset \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} a\not\in B. \end{eqnarray*}$ Da aber die leere Menge per Definition keine Elemente hat, ist das ein Widerspruch. Deswegen muss die Annahme falsch sein.

Gefällt dir dieser Beweis vielleicht besser? smile

27.01.2014, 22:51

ElaMiNaTo

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Nein, der Beweis gefällt mir nicht besser. Habe ihn aber dennoch denke ich verstanden. Den ersten habe ich nach dem neuen FALLS-Verständnis sofort verstanden.

Ich muss mich hier nochmal auch selbst korrigieren:

Es kann nicht der Fall sein, dass es ein Element in der leeren Menge gibt, welches nicht gleichzeitig in der Menge B enthalten ist.

~(A & ~B)

A = Es gibt ein Element in der leeren Menge
B = Dieses Element ist nicht gleichzeitig in der Menge B enthalten (weiter oben hatte ich das Gegenteil geschrieben)

A = falsch (Denn die leere Menge hat keine Elemente)
B = falsch (Denn die leere Menge hat keine Elemente)

~(F & ~F)
~(F & T)
~F
T

Ich bin mir nicht sicher, aber irgendwie deckt sich das zumindest ein wenig mit deinem Widerspruchsbeweis.

Vielen Dank für die Hilfe bisher smile

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