Urbild einer Funktion

28.01.2014, 03:27

Kimyaci

Urbild einer Funktion

Folgende Funktion: $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x) = 2 |x| - 1 \end{eqnarray*}$ . Gesucht ist Bild und Urbildmenge, hab die Funktion plotten lassen:

Habe ich das richtig verstanden, dass das Bild die schulmäßige "Wertemenge" ist? Dann wäre das Bild ja ganz einfach; $\begin{eqnarray*} B = \left\{y \in \mathbb R | y \geq 1\right\} \end{eqnarray*}$ und was ist jetzt der Unterschied zur Urbildmenge?

Die Definition habe ich nachgeschlagen: $\begin{eqnarray*} U_y = \left\{x \in \mathbb R | f(x) = y\right\} \end{eqnarray*}$ , "f(x) = y"? Was soll das bedeuten? y ist doch f(x) oder nicht? Bin ziemlich verwirrt...

28.01.2014, 08:37

klarsoweit

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RE: Urbild einer Funktion

Zitat:

Original von Kimyaci
Die Definition habe ich nachgeschlagen: $\begin{eqnarray*} U_y = \left\{x \in \mathbb R | f(x) = y\right\} \end{eqnarray*}$ , "f(x) = y"? Was soll das bedeuten?

Das bedeutet, daß U_y aus allen Elementen x der Definitionsmenge von f besteht, wo der Funktionswert f(x) eben gleich y ist. Du kannst dir ja mal überlegen, was $\begin{eqnarray*} U_0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} U_{-1} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} U_{-2} \end{eqnarray*}$ sind.

28.01.2014, 18:55

Kimyaci

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RE: Urbild einer Funktion

Zitat:

wo der Funktionswert f(x) eben gleich y ist.

Ich sehe immer noch nicht den Unterschied, y ist doch ein Synonym für den Funktionswert f(x)?

29.01.2014, 08:25

klarsoweit

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RE: Urbild einer Funktion
Nun ja, du darfst nicht nur einfach auf die Gleichung f(x)=y schauen, sondern mußt auch auf das achten, was drumherum steht. Und etwas lapidar übersetzt lautet das Spiel so: ich gebe dir einen y-Wert vor und du mußt alle x-Werte finden, für die f(x)=y ist. Und die Menge dieser x-Werte zu dem vorgegebenen y nennt man U_y. Wie gesagt: probiere das mal für y=-2 aus.

30.01.2014, 19:46

Kimyaci

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Ich brauch da ein Beispiel zu sonst versteh ich das nicht...

30.01.2014, 20:06

BigMom

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Denk auch noch mal über deine angegebenes B nach. Diese Menge ist nicht das Bild von der Funktion f.

30.01.2014, 20:16

Kimyaci

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Ups, da fehlt ein Minuszeichen:

$\begin{eqnarray*} B_f = \left\{ y \in \mathbb R | y \geq - 1 \right\} \end{eqnarray*}$

Nun dürfte es in Ordnung sein.

30.01.2014, 20:27

Kimyaci

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Ah, ich glaub mir geht gerade ein Licht auf. Nun:

$\begin{eqnarray*} U_0 = \left\{ x \in \mathbb R | f(\frac 1 2) = 0 \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_{-1} = \left\{ x \in \mathbb R | f(0) = -1 \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_{-2} = \left\{ x \in \mathbb R | f(x) \neq -2 \right\} \end{eqnarray*}$

Das Letzte klappt leider nicht, da der Betrag die negativen Werte wieder positiv macht. Aber wie gebe ich nun die Urbildmenge allgemein an?

31.01.2014, 08:23

klarsoweit

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Die Notation paßt in allen 3 Fällen nicht. Beispielsweise ist $\begin{eqnarray*} U_0 = \left\{ x \in \mathbb R | f(x) = 0 \right\} \end{eqnarray*}$ . Und jetzt mußt du alle x suchen, die Elemente dieser Menge sind, die also die Gleichung f(x)=0 erfüllen.

31.01.2014, 17:22

Kimyaci

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Na ja für $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ ist x = 1/2 oder x = - 1/2, für $\begin{eqnarray*} f(x) = -1 \end{eqnarray*}$ ist x = 0 und für $\begin{eqnarray*} f(x) = - 2 \end{eqnarray*}$ gibt es keine x-Werte die die Bedingung erfüllen.

Weiter bringt mich das aber nicht... verwirrt

31.01.2014, 20:46

Dopap

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wir hatten das Thema schon bei der Umkehrfunktion.

Kurz : das Urbild der Wertemenge ist die Definitionsmenge.

01.02.2014, 01:07

Kimyaci

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Also ist das Urbild der Funktion identisch mit der Definitionsmenge?

Aber warum wird das dann überhaupt angegeben, wäre das nicht redundant?

01.02.2014, 01:37

Dopap

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schon möglich, aber in mathe können Objekte verschiedene Namen haben.

betrachte das mal rückärts:

Eine Funktion sei als Menge von geordneten Paaren gegeben. Hier muss die Definitionsmenge nicht angegeben sein.

Hier muss bei der Frage nach der Urbildmenge eben echt überprüft werden.

01.02.2014, 01:39

Kimyaci

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Oh, danke habs endlich verstanden. smile

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