Umkehrfunktion einer Betragsfunktion

28.01.2014, 03:43

Kimyaci

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Umkehrfunktion einer Betragsfunktion

Habe die Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x) = 2 | x| - 1 \end{eqnarray*}$ . Nun soll ein Intervall $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ gefunden werden, so dass $\begin{eqnarray*} f : A \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend ist, außerdem soll die Umkehrfunktion gebildet werden.

Na ja das Intervall wäre halt $\begin{eqnarray*} A = [0, \infty) \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ doch nicht in den reellen Zahlen enthalten ist.. ?). Jetzt bin ich mir bei der Umkehrfunktion nicht sicher.

Also die Funktion lautet nun $\begin{eqnarray*} f(x) = 2 | x | - 1 \end{eqnarray*}$ im Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} D = \mathbb R_0^+ \end{eqnarray*}$ , da die negativen x-Werte ausgeschlossen sind darf ich die Funktion in der Form $\begin{eqnarray*} f(x) = 2x - 1 \end{eqnarray*}$ angeben?

Wenn ja ist die Umkehrfunktion ja easy; $\begin{eqnarray*} f(x) + 1 = 2x \Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} \end{eqnarray*}$ . Verstehe ich das richtig, dass die Bildmenge der Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} B = [0, \infty) \end{eqnarray*}$ und der Definitionsbereich ganz $\begin{eqnarray*} D = \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist?

28.01.2014, 08:04

Bürgi

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RE: Umkehrfunktion einer Betragsfunktion
Guten Morgen,

Du hast Dich durch die einfachen Rechnungen etwas verführen lassen ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Beachte:

$\begin{eqnarray*} D_{f^{-1}} = B_f~\wedge~B_{f^{-1}} = D_f \end{eqnarray*}$

28.01.2014, 18:52

Kimyaci

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RE: Umkehrfunktion einer Betragsfunktion

Zitat:

$\begin{eqnarray*} D_{f^{-1}} = B_f~\wedge~B_{f^{-1}} = D_f \end{eqnarray*}$

Habe ich nicht genau das angegeben? verwirrt

verwirrt

28.01.2014, 21:41

Mathewolf

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Was war noch die Bildmenge von f? Die hast du nämlich nicht angegeben.

28.01.2014, 22:18

Kimyaci

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Ach soo, die Bildmenge von f ist doch $\begin{eqnarray*} B_f = [-1, \infty) \end{eqnarray*}$ ? Damit ist die Definitionsmenge der Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} D_{f^{-1}} =B_f = [-1, \infty) \end{eqnarray*}$ ?

Oh, Moment, was mache ich denn dann mit den Betragsstrichen? Dann stimmt meine Umkehrfunktion ja nicht.

29.01.2014, 13:10

Mathewolf

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Zitat:

Damit ist die Definitionsmenge der Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} D_{f^{-1}} =B_f = [-1, \infty) \end{eqnarray*}$ ?

Genau.

f besitzt auch als ganzes keine Umkehrfunktion, sondern ist nur partiell invertierbar. Daher solltest du ja auch als Teilaufgabe einen Bereich finden, in dem die Funktion streng monoton wachsend ist.
Zeichne den Grafen von f mal in ein Koordinatensystem und spiegel diesen an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten. Dann wird es klarer.

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30.01.2014, 20:10

Kimyaci

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Ok hab die Funktionen gedanklich und aufm Papier gezeichnet, leider gelingt mir die Darstellung der Funktion mittels Funktionsplotter noch nicht. Also ich brauche ja einen den positiven Teil der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = 2x - 1 \end{eqnarray*}$ , wie kehre ich das denn jetzt "partiell" um?

Ich dachte an so was: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B_{f^{-1}} = \mathbb R_0^+ \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} D_{f^{-1}} = [-1, \infty) \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?

30.01.2014, 21:49

Dopap

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ja, das stimmt soweit.

30.01.2014, 23:24

Kimyaci

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Okay, noch eine kleine Frage; wie lässt man die Funktion plotten ohne den negativen Part der x-Achse? Ohne bei x = 0 anzufangen meine ich jetzt.

31.01.2014, 00:20

Dopap

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das wäre eine Möglichkeit, aber man erhält meistens einen senkrechten Strich bei der Sprungstelle.

Ist eigentlich für teildefinierte Funktionen gedacht.

31.01.2014, 00:32

Kimyaci

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Hm, ich glaub da ists besser wenn ich andere Funktionsplotter nutze und das hier als Bild-Datei hochlade.

Danke! Freude

Freude

31.01.2014, 00:34

Dopap

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ich glaube, das sieht noch besser aus !

31.01.2014, 00:36

10001000Nick1

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Eine Möglichkeit, um den senkrechten Strich loszuwerden, wäre folgende:

Der Funktionsplotter soll jetzt für x<0 die Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ zeichnen, was natürlich nicht definiert ist. Also zeichnet er für x<0 gar nichts und es wird nur der Teil für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ gezeichnet.

31.01.2014, 01:26

Kimyaci

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Sehr elegant gelöst. smile

smile

31.01.2014, 01:49

10001000Nick1

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Wobei Dopaps Idee dann doch die elegantere ist. Da braucht man nicht solche Tricks wie "nicht definierte Funktionen". smile

smile

31.01.2014, 11:04

HAL 9000

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Es gibt hier im Board auch den "parametricplot": Augenzwinkern

Augenzwinkern

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