Limes gegen infty berechnen

28.01.2014, 10:34

Chris00

Limes gegen infty berechnen

Hallo,

ich komme mit folgender Aufgabe nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} 1.) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x) = exp(4-x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n (f(2+\frac{1}{n}) - f(2)) \end{eqnarray*}$

Wenn wenn ich das einsetze und umwandle erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n \left(1-exp(\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}) \right)}{exp(\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2})} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich nicht weiter. Welche Möglichkeiten hätte ich?

Regel von L'Hospital funktioniert nicht, da e gegen 1 geht, aber n *(1-1) = 0
Könnte ich hier den Mittelwertsatz nutzen? Gibts weitere Möglichkeiten?

2.) Des weiteren wüsste ich gerne, wie man Injektivität und Surjektivität von Funktionen nachweisen kann. Reicht es aus um Injektivität nachzuweisen, dass die Fkt. streng. mon. fallend/steigend ist anhand der Ableitung? Wie zeige ich es bei Surjektivität?

gruß

28.01.2014, 11:15

h4mmer

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RE: Limes gegen infty berechnen
Hallo,

Also ich erhalte Folgendes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}n\cdot (e^{\frac 4n+\frac 1{n^2}}-1)=\lim_{n \to \infty}\frac {e^{\frac 4n+\frac 1{n^2}}-1}{\frac 1n} \end{eqnarray*}$ und somit einen Fall für L´Hospital.

MfG

28.01.2014, 11:21

Grautvornix

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RE: Limes gegen infty berechnen
Setze $\begin{eqnarray*} g(x):=f(2+x)=\exp(-4x-x^2). \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} n\left(f\left(2+\frac 1n\right)-f(2)\right)=\frac{g\left(\frac 1n\right)-g(0)}{\frac 1n-0}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} g'(0). \end{eqnarray*}$

28.01.2014, 11:22

MMchen60

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Ich weiß nicht, wie du zu deiner Umformung gekommen bist. Wenn ich einsetze, erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} n\cdot (e^{4-(2+\frac{1}{n})^2}-e^{4-4})= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n\cdot (e^{4-(4+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}) }-e^0= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n\cdot (e^{-\frac{4}{n}-\frac{1}{n^2}}-1) \end{eqnarray*}$
Wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (-\frac{4}{n}-\frac{1}{n^2})=0 \end{eqnarray*}$ ist somit
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } e^{(-\frac{4}{n}-\frac{1}{n^2})}=1 \end{eqnarray*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n \cdot (f(2+\frac{1}{n})-f(2))=0 \end{eqnarray*}$

28.01.2014, 11:38

Chris00

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RE: Limes gegen infty berechnen
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}n\cdot (e^{-\frac 4n-\frac 1{n^2}}-1)=\lim_{n \to \infty}\frac {e^{-\frac 4n-\frac 1{n^2}}-1}{\frac 1n} \end{eqnarray*}$

@h4mmer: So hab ich es ja im Prinzip auch, du hast nur die Minus vergessen und ich hab das ganze dann auf einen Bruch gebracht... (Und die 4 vergessen Augenzwinkern

) Durch die Minus dürfe nun kein Hospital mehr funktionieren...?

@Grautvornix: Gibt es eine andere Möglichkeit außer dem MWS?

Kann noch jemand was zur zweiten Frage schreiben?

28.01.2014, 11:47

Grautvornix

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RE: Limes gegen infty berechnen

Zitat:

Original von Chris00
@Grautvornix: Gibt es eine andere Möglichkeit außer dem MWS?

Wie kommst Du auf den MWS?

Da steht doch einfach nur ein spezieller Differenzenquotient, der hier die Definition der Ableitung von g an der Stelle 0 darstellt.

28.01.2014, 13:53

Chris00

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Grautvornix: Da haste recht. Könntest du kurz erklären, wie du genau darauf kommst ... also warum 2+x ... setzt du dann einmal x = 1/n und einmal x = 0 ...?

Kann mir jemand was zur 2. Frage sagen? Wäre echt sehr dankbar! smile

29.01.2014, 14:30

Chris00

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hm, kann mir keiner mehr weiterhelfen?

30.01.2014, 11:44

Chris00

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Kann mir jemand sagen, wie man Injektivität und Surjektivität von Funktionen nachweisen kann. Reicht es aus um Injektivität nachzuweisen, dass die Fkt. streng. mon. fallend/steigend ist anhand der Ableitung? Wie zeige ich es bei Surjektivität?

30.01.2014, 13:06

bijektion

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Hallo,

kennst du denn die Definition von Sur- b.z.w Injektivität?
Die kannst du dann schon anwenden.

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Limes gegen infty berechnen

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