Fluss durch geschlossene Oberfläche der Halbkugel

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28.01.2014, 14:58	Milan	Auf diesen Beitrag antworten »
Fluss durch geschlossene Oberfläche der Halbkugel Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Aufgabe und komme da nicht weiter. Ich habe für a) und b) verschiedene Lösungen raus. Sollten diese Lösungen nicht gleich sein? Oder habe ich mich irgendwo verrechnet? Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes $\begin{eqnarray} \vec F= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ z(x^{2}+y^{2})^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ durch die geschlossene Oberfläche der Halbkugel $\begin{eqnarray} x^2+y^2+z^2=1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z\leq 0 \end{eqnarray}$ über a) das Volumenintegral mit Hilfe des Satzes von Gauß b) das Flächenintegal mit Hilfe des Satzes von Gauß Meine Ideen: Zu a) Das Volumenintegral laut Gauß lässt sich über folgende Formel bestimmen: $\begin{eqnarray} \int\!\!\!\!\int\limits_{(V)}\!\!\!\!\int div~\vec{F}~dV \end{eqnarray}$ daher rechne ich erstmal $\begin{eqnarray} div \vec F \end{eqnarray}$ aus: $\begin{eqnarray} div \vec F =(x^2+y^2)^2 \end{eqnarray}$ dies rechne ich nun in Kugelkoordinaten mit $\begin{eqnarray} x= sin~\varthetacos~\varphi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=rsin~\varthetasin~\varphi \end{eqnarray}$ um um: $\begin{eqnarray} div \vec F =(x^2+y^2)^2=(r^2sin^2(\vartheta )cos^2(\varphi )+r^2sin^2(\vartheta )sin^2(\varphi ) \end{eqnarray}$ durch ausklammern und dem trigonometrischen Pythagoras ergibt sich: $\begin{eqnarray} div \vec F = r^4sin^4(\vartheta) \end{eqnarray}$ Das Volumenelement dV ist wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} dV=r^2sin\vartheta drd\vartheta d\varphi \end{eqnarray}$ Nun setzte ich das in den Satz von Gauß ein: $\begin{eqnarray} \int\!\!\!\!\int\limits_{(V)}\!\!\!\!\int div~\vec{F}~dV=\int_{\vartheta=-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\int_{\varphi=0}^{2pi}\int_{r=0}^1 r^4sin^4(\vartheta) r^2sin\vartheta drd\vartheta d\varphi=0 \end{eqnarray}$ zu b) das Flächenintegral laut Gauß lässt sich über folgende Formel bestimmen: $\begin{eqnarray} \iint\limits_{(A)}div~\vec{F}~dA \end{eqnarray}$ Die Divergenz ist die selbe wie oben, bloß diesmal rechne ich die Divergenz in Polarkoordinaten um: $\begin{eqnarray} div \vec F =(x^2+y^2)^2=(r^2cos^2(\varphi)+r^2sin(\varphi)^2)^2=r^4 \end{eqnarray}$ Das Flächenelement dA ist wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} dA=rd\varphi dr \end{eqnarray}$ In die obige Formel eingesetzt: $\begin{eqnarray} \int\limits_{(A)}div~\vec{F}~dA=\int_{\varphi=0}^{2pi}\int_{r=0}^1 r^4rd\varphi dr=\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ LaTeX-Tags ergänzt. Steffen
28.01.2014, 15:32	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieh dir nochmal den Gaußschen Satz an!!! Im Flächenintegral kommt keine Divergenz vor! Zu berechnen ist das Flächenintegral $\begin{eqnarray} \Phi=\underbrace{\int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi/2} \vec F\cdot \vec n \underbrace{\sin(\theta)}_{\text{Funktionaldeterminante}}\,\,\, d\phi d\theta}_{\text{Fluss durch Fläche der Halbkugel}}+\underbrace{\int_{r=0}^{1}\int_{\phi=0}^{2\pi} \vec F\cdot \vec m \underbrace{r}_{\text{Funktionladeterminante}} \,\,drd\phi}_{\text{Fluss durch ebene Kreisfläche}} \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ der Normaleinheitsvektor auf der Kugeloberfläche und $\begin{eqnarray} \vec m=(0\|0\|-1) \end{eqnarray}$ der Normaleinheitsvektor auf der Kreisfläche.
28.01.2014, 16:03	Milan	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich bei b) nicht den Gaußschen Integralsatz in der Ebene verwenden? Den habe ich in meinem vorigen Beitrag genutzt. @Steffen: Vielen Dank für die Ergänzung der LaTeX-Tags, habe es erst danach gesehen und dann nicht mehr rechtzeitig geschafft.
29.01.2014, 09:51	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der "Gaußsche Satz in der Ebene" gilt nur in der Ebene - wie der Name sagt. Du musst aber auf einer halben Kugekoberfläche integrieren.
29.01.2014, 12:09	Milan	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, vielen Dank schon mal. Da bin ich wohl etwas durcheinander gewesen. Nun hab ich aber noch 2 Fragen zu deiner Formel: Müsste beim Fluss durch die Fläche der Halbkugel nicht noch ein $\begin{eqnarray} r^{2} \end{eqnarray}$ dabei sein? Sprich so: $\begin{eqnarray} \Phi=\underbrace{\int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi/2} \vec F\cdot \vec n \underbrace{r^2\sin(\theta)}_{\text{Funktionaldeterminante}}\,\,\, d\phi d\theta}_{\text{Fluss durch Fläche der Halbkugel}} \end{eqnarray*}$ Kann ich beim Fluss durch die ebene Kreisfläche diesmal den Satz von Gauß in der Ebene verwenden?
29.01.2014, 12:53	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da der Kugelradius in deiner Aufgabe den Wert r=1 hat, habe ich bei der Funktionaldeterminante den Faktor r² weggelassen. Beim 2-dimensionalen Gaußschen Satz hat das Vektorfeld nur 2 Komponenten. Da dein Vektorfeld 3-dimensional ist, musst du den 3-dimensionalen Gaußschen Satz nehmen. Da der Normaleneinheitsvektor auf der Kreisfläche die bsonders einfache Gestalt m=(0\|0\|-1) hat, wird der Integrand beim Integral über die Kreisfläche besonders einfach, denn aufgrund des Skalarproduktes m*F geht dort nur die z-Komponente des Vektorfeldes F ein.
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29.01.2014, 15:22	Milan	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das mit Gauß in der Ebene hab ich nun kapiert. Nun würde der Teil zu Aufgabe b) doch wie folgt aussehen: Fluss durch Fläche der Halbkugel: $\begin{eqnarray} \iint\limits_{(A)}\vec{F}~d\vec{A} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} d\vec{A}=r^2sin\varthetad\vartheta d\varphi\vec e_r \end{eqnarray}$ Durch $\begin{eqnarray} \vec e_r \end{eqnarray}$ brauch ich nur die Komponente des Vektorfeldes, die in r-Richtung zeigt, sprich $\begin{eqnarray} F_r \end{eqnarray}$ Daher wandel ich das Vektorfeld in Kugelkoordinaten um: $\begin{eqnarray} F_r=sin\vartheta cos\varphi + sin\vartheta sin\varphi+r^5cos^2 \vartheta sin^4 \vartheta \end{eqnarray}$ Das in die obige Formel eingesetzt: $\begin{eqnarray} \iint\limits_{(A)}\vec{F}~d\vec{A} = \int_{\vartheta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{2\pi} (r^2 sin^2 \vartheta cos\varphi+r^2 sin^2 \vartheta sin\varphi+r^7 cos^2 \vartheta sin^5 \vartheta) d\vartheta d\varphi= \frac{16\pi}{105} \end{eqnarray}$ Fluss durch ebenen Kreis: $\begin{eqnarray} \iint\limits_{(A)}\vec{F}~d\vec{A} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} d\vec{A}=rdr d\varphi(-\vec e_z) \end{eqnarray}$ Durch $\begin{eqnarray} \vec e_z \end{eqnarray}$ brauch ich nur die Komponente des Vektorfeldes, die in z-Richtung zeigt, sprich $\begin{eqnarray} F_z \end{eqnarray}$ Nun habe ich bloß das Problem, dass $\begin{eqnarray} F_z =z(x^2+y^2)^2 \end{eqnarray}$ ist. Ich würde jetzt z=0 setzen und somit wäre $\begin{eqnarray} F_z=0 \end{eqnarray*}$ . Dadurch ist der Fluss auch Null. Doch sollte nicht die Summe der beiden Flüsse gleich 0 sein, wie bei a)? Vielen Dank übrigens für die schnellen Antworten
30.01.2014, 09:23	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht. Das Integral durch die ebene Kreisfläche verschwindet, weil dort das Feld F parallel zur Kreisfläche liegt. Wir müssen also nur das Integral über die halbe Kugelfläche mit dem Radius r=1 betrachten. Dabei habe ich exakt das gleiche Integral wie du (die Faktoren mit r kannst du wegen r=1 wegelassen). $\begin{eqnarray} \Phi=\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\phi=0}^{2\pi} \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \cos(\theta)\cdot \sin^4(\theta) \end{pmatrix}}_{\text{Feld}}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} \cos(\phi)\sin(\theta) \\ \sin(\phi)\sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{pmatrix}}_{\text{Normaleneinheitsvektor}} \underbrace{\sin(\theta)}_{\text{Funktionaldeterminante}}\,\,d\theta d\phi \end{eqnarray}$ Ausmultiplizieren des Integranden liefert den gleiche Integranden wie bei dir $\begin{eqnarray} \Phi=\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\phi=0}^{2\pi} \sin^2(\theta)\cdot[\cos(\phi)+\sin(\phi)]+\cos^2(\theta)\sin^5(\theta) \,\,d\theta d\phi \end{eqnarray}$ Prüfe bitte, ob du beim Integrieren einen Fehler gemacht hast! Ich habe dieses Integral nicht nachgerechnet.
30.01.2014, 12:04	Milan	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs endlich gelöst bei a) hatte ich die falsche Integrationsgrenzen von $\begin{eqnarray} \vartheta \end{eqnarray}$ . Die müssten da ja auch von 0 bis Pi/2 sein. Dann kommt bei a) auch das gleiche wie bei b) raus, nämlich $\begin{eqnarray} \frac{16\pi}{105} \end{eqnarray}$ . Vielen, vielen Dank für die Hilfe.

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