Integral über komische Menge

28.01.2014, 17:20

Hammala

Integral über komische Menge

Meine Frage:
Hi zusammen,
ich hätte hier eine eigentlich ganz einfache Aufgabe. Ich muss das Integral auf M berechnen, siehe Bild.
Eine knackige Idee wäre nicht schlecht, zum Beispiel wie ich die Menge
in die Form $\begin{eqnarray*} \{ (x,y)|...\} \end{eqnarray*}$ bringen könnte?
Danke

Meine Ideen:
keine

28.01.2014, 19:30

Hammala

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RE: Integral über komische Menge
ein kleiner ruck in die richtige Richtung würde mir schon genügen

28.01.2014, 19:37

Leopold

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$\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ mit der angegebenen Definitionsmenge ist gar kein Diffeomorphismus. $\begin{eqnarray*} F(4711,0) = F(2014,0) \end{eqnarray*}$ zum Beispiel zeigt, daß die Bijektivität verletzt ist. Dennoch läßt sich die Aufgabe retten. Wenn man $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ auf die obere Halbebene $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ restringiert und die Bildmenge entsprechend anpaßt, erhält man nämlich einen Diffeomorphismus. Die Umkehrbarkeit zeigt man am besten, indem man $\begin{eqnarray*} F^{-1} \end{eqnarray*}$ konkret berechnet. Dazu löst man

$\begin{eqnarray*} \left( u,v \right) = \left( xy , \operatorname{e}^y \right) \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ auf. Die Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F^{-1} \end{eqnarray*}$ ist unmittelbar einsichtig.

$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist nun das Bild des Dreiecks $\begin{eqnarray*} \Delta = \left\{ \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \left| \, 0 \leq x \leq y \leq 1 \, \right. \right\} \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} M = F(\Delta) \end{eqnarray*}$

Streng genommen darf man $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ nicht zu $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ dazunehmen, denn dieser Punkt liegt nicht in der oberen Halbebene. Aber dieser isolierte Punkt sollte die Meßbarkeit von $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ und damit von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nicht stören. Jetzt verwende die Substitutionsregel:

$\begin{eqnarray*} \int \limits_M g(u,v) ~ \dd (u,v) = \int \limits_{\Delta} g \left( F(x,y) \right) \cdot \left| \frac{\partial F}{\partial(x,y)} \right| ~ \dd (x,y) \end{eqnarray*}$

Im konkreten Fall ist $\begin{eqnarray*} g(u,v) = 1 \end{eqnarray*}$ konstant. In den Betragsstrichen steht die Funktionaldeterminante von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ .

Es wäre sicher hilfreich, wenn du dir die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ skizziertest. Sie ist ein Dreieck mit zwei geraden und einer krummen Seite. Die krumme Seite ist der Graph der Funktion $\begin{eqnarray*} y = \operatorname{e}^{\sqrt{x}}, 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Du kannst dein Ergebnis für den Flächeninhalt daher mit Schulmathematik überprüfen.

28.01.2014, 21:40

Hammala

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wow danke!!!,
wenn ich das ausrechne, dann folgt:

$\begin{eqnarray*} \int \limits_{\Delta} \left| \frac{\partial F}{\partial(x,y)} \right| ~ \dd (x,y)= \int_{\Delta} ye^y -x d(x,y)=\int_0^1 \int_0^{e-e^{\sqrt x}}dydx \end{eqnarray*}$

1. Stimmen die Grenzen?
2. Ist das der Satz von Fubini? Ich komm da immer durcheinander..
3. Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} y= e^{\sqrt x} \end{eqnarray*}$ . So blöd wies klingt, ich find Mengenzeichnen nicht so leicht.

29.01.2014, 07:23

Leopold

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Die Funktionaldeterminante ist einfach nur $\begin{eqnarray*} y \operatorname{e}^y \end{eqnarray*}$ . Im übrigen hätte bei deinem falschen Integranden die Klammer gefehlt. Beim letzten Gleichheitszeichen wird Fubini angewandt. Allerdings verstehe ich nicht, wie du auf die Daten dort kommst. Die Integration wird über das Dreieck $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ ausgeführt. Danach richten sich die Integrationsgrenzen. Du solltest dir daher zunächst einmal klar machen, wie das Dreieck aussieht.
Um die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zu zeichnen, bilde den Rand von $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ auf den Rand von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ab. Dazu könntest du die Seiten von $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ zuvor parametrisieren. Die vertikale Dreiecksseite etwa durch $\begin{eqnarray*} x=0, y=t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ , die horizontale durch $\begin{eqnarray*} x=t,y=1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und die schräge durch $\begin{eqnarray*} x=t,y=t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ . Und jetzt habe ich dir bereits verraten, wie $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ aussieht.

29.01.2014, 20:21

Hammala

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also wenn ichs richtig verstanden habe, dann müssen die Grenzen sein
$\begin{eqnarray*} \int_{\Delta} ye^y d(x,y)=\int_0^1 \int_0^{x}...dydx \end{eqnarray*}$

ich habe ausversehen versucht, die Grenzen aus dem Bild vom F abzulesen.

Und den Satz von Fubini darf ich anwenden, weil das Integral auf einer kompakten Menge lebt und daher produktintegrierbar ist oder betraglich einfach integrierbar ist.

Vielen Dank nochmal

29.01.2014, 23:00

Leopold

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Zitat:

Original von Hammala
$\begin{eqnarray*} \int_{\Delta} ye^y d(x,y)=\int_0^1 \color{red} \int_{0}^{x} \color{black} ...dydx \end{eqnarray*}$

Das ist noch nicht richtig.

29.01.2014, 23:57

Hammala

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ich denke:
$\begin{eqnarray*} \int_{\Delta} ye^y d(x,y)=\int_0^1 \int_{1-x}^{1} ...dydx \end{eqnarray*}$

ich summiere doch all die Linien als Zerlegung des Dreiecks, ich gehe also mit x von 0 nach 1 und eine Linie geht von der oberen waagrechten Gerade des Dreiecks (Höhe 1) bis zur Winkelhalbierenden, welcher der Punkt 1-x ist, für alle x.

sollte stimmen oder?

30.01.2014, 06:56

Leopold

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Zitat:

Original von Hammala
ich denke:
$\begin{eqnarray*} \int_{\Delta} ye^y d(x,y)=\int_0^1 \int_{1-x}^{1} ...dydx \end{eqnarray*}$

ich summiere doch all die Linien als Zerlegung des Dreiecks, ich gehe also mit x von 0 nach 1 und eine Linie geht von der oberen waagrechten Gerade des Dreiecks (Höhe 1) bis zur Winkelhalbierenden, welcher der Punkt 1-x ist, für alle x.

sollte stimmen oder?

Ja und nein.

30.01.2014, 09:27

Hammala

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omg peinlich, das muss statt 1-x natürlich x sein

30.01.2014, 16:06

Leopold

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Jetzt stimmt es.

30.01.2014, 16:13

Hammala

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