Erweiterungsgrad

28.01.2014, 20:15	Dschanny	Auf diesen Beitrag antworten »
Erweiterungsgrad Meine Frage: Ich stecke hier gerade fest. Und zwar wollte ich den Erweiterungsgrad der Erweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb Q(2^{1/4},i)/ \mathbb Q \end{eqnarray}$ bestimmen. Meine Ideen: Überlegt hab ich mir, dass der Grad durch 4 teilbar sein muss, da $\begin{eqnarray} \mathbb Q(2^{1/4})/ \mathbb Q \end{eqnarray}$ Grad 4 hat. Alternativ könnte ich ja einfach das Minimalpolynom ausrechnen. Und genau da stoße ich auf folgendes Problem: P= $\begin{eqnarray} x^{6}+x^{4}-2x^{2}-2 \end{eqnarray}$ ist ein Polynom in Q[X] und hat die gewünschten Nullstellen, aber nur Grad 6.... und 4 teilt ja 6 nicht. Wo ist mein Denkfehler? Ich würde mich über Antworten sehr freuen.
28.01.2014, 20:29	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vom was rechnest du denn das Minimalpolynom aus? Übrigens ist dein "Minimalpolynom" reduzibel. Der Gradsatz ist hier, wie oft, nützlich.
28.01.2014, 20:31	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erweiterungsgrad Minimalpolynome beziehen sich auf ein bestimmtes Element. Du brauchst kein Polynom, das beide Nullstellen hat. Du hast doch schon $\begin{eqnarray} [\mathbb Q(2^{1/4}): \mathbb Q]=4 \end{eqnarray}$ Jetzt musst du nur noch $\begin{eqnarray} [\mathbb Q(2^{1/4})(i): \mathbb Q(2^{1/4})] \end{eqnarray}$ ermitteln und der Gradsatz liefert dir dann den Rest. Edit: Sorry, überschnitten. Ich bin raus.
29.01.2014, 22:06	Dschanny	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erweiterungsgrad Vielen Dank , jetzt weiß ich wo mein Denkfehler war.

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