Fkt. mit mehreren Variablen und Nebenfkt. - Lagrange

28.01.2014, 20:57

vesperbrot

Fkt. mit mehreren Variablen und Nebenfkt. - Lagrange

Meine Frage:
Ich habe folgende Aufgabe:

Bestimmen sie die Extrema der Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=e^{x^2+2y^2} \end{eqnarray*}$

unter der Nebenbedingung:

$\begin{eqnarray*} y-x=1 \end{eqnarray*}$ mittels der Lagrange-Funktion.

Ich habe einige Ansätze jedoch komme ich beim auflösen der jeweiligen partiellen Ableitungen nicht weiter.

Meine Ideen:
Ich habe die Lagrange-Fkt. aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} L=e^{x^2+2y^2}-\lambda (y-x-1) \end{eqnarray*}$

Diese jeweils nach $\begin{eqnarray*} x,y,\lambda \end{eqnarray*}$ abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} = 2x*e^{2y^2+x^2} + \lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} = 4y*e^{2y^2+x^2} - \lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{d\lambda} = y-x-1 \end{eqnarray*}$

Ich krieg jedoch nun nicht $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aufgelöst um dies dann in $\begin{eqnarray*} \frac{df}{d\lambda} \end{eqnarray*}$ einzusetzen und nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ aufzulösen.

Edit:

Das ist mein bisheriges Resultat als ich $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} = 2x*e^{2y^2+x^2} + \lambda \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aufgelöst habe:

$\begin{eqnarray*} 2y^2+x^2=\frac{(-ln(\lambda )}{ln(2x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{\frac{-ln(\lambda )}{ln(2x)} } -2y^2 \end{eqnarray*}$

Das verwirrt mich noch mehr unglücklich

28.01.2014, 21:12

Kasen75

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RE: Fkt. mit mehreren Variablen und Nebenfkt. - Lagrange
Hallo,

ausgehend von

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} = 2x*e^{2y^2+x^2} + \lambda=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} = 4y*e^{2y^2+x^2} - \lambda =0 \end{eqnarray*}$

kann man jetzt die Lambdas auf die andere Seite bringen:

$\begin{eqnarray*} 2x*e^{2y^2+x^2} =- \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4y*e^{2y^2+x^2} = \lambda \end{eqnarray*}$
Edit: Die Ableitungen entfernt.

Nun die eine Gleichung durch die andere Gleichung dividieren.

Grüße.

28.01.2014, 21:38

vesperbrot

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Ich verstehe leider die Division hier nicht, wie teile ich den diese 2 Gleichungen? Seh ich das richtig, dass folgendes rauskommt und meine "versuchte" Division korrekt ist?

$\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=1/2 \end{eqnarray*}$

Und somit $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$

Nun muss ich die Hessematrix von Lagrange bilden:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & gx_1 & gx_2 \\ gx_1 & Lx_1x_1 & Lx_1x_2 \\ gx_2 & Lx_2x_1 & Lx_2x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.01.2014, 22:05

vesperbrot

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Dies führt mich zu folgender Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 6e^{5} & -4e^{5} \\ 1 & -4e^{5} & 20e^{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit oder bin ich auf dem holzweg?

28.01.2014, 23:21

Kasen75

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Zitat:

Original von vesperbrot
Ich verstehe leider die Division hier nicht, wie teile ich den diese 2 Gleichungen? Seh ich das richtig, dass folgendes rauskommt und meine "versuchte" Division korrekt ist?

$\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=1/2 \end{eqnarray*}$

Rein vom Ergebnis habe ich etwas anderes.
Ich denke du hast richtig dividiert, aber dann nicht richtig aufgelöst. Das ist aber Spekulation, da ich nicht weiß, was du genau gemacht hast.

Das hier $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & gx_1 & gx_2 \\ gx_1 & Lx_1x_1 & Lx_1x_2 \\ gx_2 & Lx_2x_1 & Lx_2x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ stimmt soweit.

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