Grenzwert

28.01.2014, 23:47	Kartonaufkleber	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Bei folgendem Grenzwert komme ich nicht weiter. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + sin^{2}(x)}}{x} \end{eqnarray}$ Ich weiß, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{2} \end{eqnarray}$ ist (graphisch "ermittelt"). Wenn ich die Regel von l'Hospital anwende, komme ich immer wieder auf einen unbestimmten Ausdruck der Form $\begin{eqnarray} [\frac{0}{0}] \end{eqnarray}$ . Auch diverse Umformungen entsprechend der trigonometrischen Identitäten haben mich nicht weitergebracht. Hat jemand eine Idee?
28.01.2014, 23:51	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Probier mal: $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x^{2}+\sin^{2}(x)}}{x}= \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{\sin^{2}(x)}{x^{2}}} \end{eqnarray}$ Dann sieht man es recht leicht. Liebe Gruesse!
29.01.2014, 00:44	Kartonaufkleber	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Also das ist wirklich eine super Idee mit der Anwendung der Potenzgesetze in der Ausgangsgleichung. Wenn ich Dich richtig verstehe, dann meinst Du folgendes: $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x^{2} + sin^{2}(x)}}{x} = \frac{\sqrt{x^{2} + sin^{2}(x)}}{\sqrt{x^{2}}} = \sqrt{\frac{x^{2} + sin^{2}(x)}{x^{2}}} = \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{sin^{2}(x)}{x^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{sin^{2}(x)}{x^{2}}} \end{eqnarray}$ Anwendung der Grenzwertsätze liefert: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \sqrt{1 + \frac{sin^{2}(x)}{x^{2}}} = \sqrt{\lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{sin^{2}(x)}{x^{2}}\right)} = \sqrt{1 + \lim_{x \to 0} \left(\frac{sin^{2}(x)}{x^{2}}\right)} \end{eqnarray}$ Die Regel von l'Hospital liefert: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \left(\frac{sin^{2}(x)}{x^{2}}\right) = \left[\frac{0}{0}\right] = \lim_{x \to 0} \left(\frac{2\sin(x) \cos(x) }{2x}\right) = \left[\frac{0}{0}\right] = \lim_{x \to 0}\left(\frac{2\left(cos^{2}(x)-sin^{2}(x)\right)}{2}\right) = 1 \end{eqnarray}$ Einsetzen liefert: $\begin{eqnarray} \sqrt{1 + \lim_{x \to 0} \left(\frac{sin^{2}(x)}{x^{2}}\right)} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ Leider sehe ich noch nicht ganz, wo dann das " $\begin{eqnarray} \pm \end{eqnarray}$ " herkommt, da ja der Grenzwert $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{2} \end{eqnarray}$ ist. Kommt das " $\begin{eqnarray} \pm \end{eqnarray}$ " daher, dass ich in der Ausgangsgleichung vor der Anwendung der Potenzgesetze den Nenner quadriert habe (da ja beim Quadieren die Information über das Vorzeichen verloren geht)? Und / oder wäre auch folgende Idee zulässig? $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_{0}} f\left(x\right) \Rightarrow \left(f\left(x\right)\right)^{2} \Rightarrow \lim_{x \to x_{0}} f\left(x\right) = \pm \sqrt{\lim_{x \to x_{0}} \left[\left(f\left(x\right)\right)^{2}\right]} \end{eqnarray}$ Vielen Dank für die Mühen!
29.01.2014, 02:10	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, diese Gleichung $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x^{2}+\sin^{2}(x)}}{x}= \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{\sin^{2}(x)}{x^{2}}} \end{eqnarray}$ gilt eben nicht für $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ ist die linke Seite der Gleichung negativ, die rechte Seite aber nicht. Entweder, der Tipp von dr.morrison war nicht so ganz eindeutig, oder er hatte das selber auch übersehen. Keine Ahnung. Mit dem "Verlorengehen von Informationen" warst du jedenfalls wohl auf der richtigen Spur. Dieser Grenzwert existiert jedenfalls nicht. Führe eine Fallunterscheidung durch, um dies zu bestätigen. Im Übrigen: Sowas wie "der Grenzwert ist $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{2} \end{eqnarray}$ " ist wohl etwas widersprüchlich. Wenn ein Grenzwert existiert, dann ist er auch eindeutig.

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