Ungleichung lösen

29.01.2014, 11:38

Schattenklinge

Ungleichung lösen

Hi,

Ich habe Probleme die Betragsungleichung hier zu lösen,
weiß gar nicht so wirklich wie ich vorgehen soll,

es handelt sich dabei um diese Ungleichung:

|2x-5| \geq |x²+8|

Ich weiß dabei, dass ich die Betragsstriche rechts weglassen kann und nach x² umformen soll, um auf eine Lösung zu kommen, aber wie mach ich das?

29.01.2014, 11:43

Schattenklinge

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$\begin{eqnarray*} |2x-5| \geq |x²+8| \end{eqnarray*}$

29.01.2014, 11:44

tigerbine

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Danke für latex. Wie wäre es mit einer Fallunterscheidung für die linke Seite?

29.01.2014, 12:00

Schattenklinge

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$\begin{eqnarray*} |2x-5| \geq x²+8 \end{eqnarray*}$

Fall 1: $\begin{eqnarray*} -(2x-5) \geq x²+8 \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} 2x+5 \geq x²+8 \end{eqnarray*}$

So oder wie?

29.01.2014, 12:05

tigerbine

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Fast du musst noch sagen, für welche x man im jeweiligen Fall landet.

$\begin{eqnarray*} |2x-5| \geq |x²+8| \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite ist > 0, daher können wir schreiben

$\begin{eqnarray*} |2x-5| \geq x²+8| \end{eqnarray*}$

Für die Linke Seite gilt

$\begin{eqnarray*} 2x-5 \geq 0 \Leftrightarrow 2x \geq 5 \Leftrightarrow x \geq 2.5 \end{eqnarray*}$

analog für den Fall

$\begin{eqnarray*} 2x-5 < 0 \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow ... \end{eqnarray*}$

Ordne das nun deinen 2 Auflösungen der Betragsstiche noch zu. Dann kannst du mit dem Rechnen beginnen.

29.01.2014, 12:12

Schattenklinge

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$\begin{eqnarray*} |2x-5| \geq |x²+8| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x-5 \geq 0 \Leftrightarrow 2x \geq 5 \Leftrightarrow x \geq 2.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x-5 \geq 0 \Leftrightarrow 2x < 5 \Leftrightarrow x < 2.5 \end{eqnarray*}$

Fall 1: $\begin{eqnarray*} x \geq 2.5 \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} x < 2.5 \end{eqnarray*}$

Ist das bis hier hin so richtig?
Wie gehe ich weiter vor?

29.01.2014, 12:18

tigerbine

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Soweit fast richtig. Nun löse die Betragsklammen auf. Und betrachte die beiden Fälle

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2x-5 \geq 0 \Leftrightarrow 2x < 5 \Leftrightarrow x < 2.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x-5 < 0 \Leftrightarrow 2x < 5 \Leftrightarrow x < 2.5 \end{eqnarray*}$

29.01.2014, 12:27

Schattenklinge

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$\begin{eqnarray*} |2x-5| \geq |x²+8| \end{eqnarray*}$

Auflösen einer Betragsklammer bedeutet doch Minus vor der Klammer setzen oder?
Spricht:

$\begin{eqnarray*} -(2x-5) \geq x²+8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2x+5 \geq x²+8 \end{eqnarray*}$

Was genau muss ich nun machen? 2,5 einsetzen in x? oder umstellen?

$\begin{eqnarray*} -2x+5 \geq x²+8 | -5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2x \geq x²+3 | +2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \geq x²+2x+8 \end{eqnarray*}$
PQ Formel -> $\begin{eqnarray*} -2 \pm \sqrt{\frac{4}{4}-8} \end{eqnarray*}$

Kommt allerdings keine reelle Zahl raus...

29.01.2014, 12:35

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} |2x-5| \geq x²+8 \end{eqnarray*}$

Im Falle

$\begin{eqnarray*} 2x-5 \geq 0 \Leftrightarrow 2x \geq 5 \Leftrightarrow x \geq 2.5 \end{eqnarray*}$

ergibt sich

$\begin{eqnarray*} -2x+5 \geq x²+8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \geq x²+2x+3 \end{eqnarray*}$

Also keine Lösung. Schauen wir uns den Plot der Ungleichung an, beachte den Knick bei x=2.5

So wird wohl auch beim zweiten Fall die Leere Menge die Lösung sein.

29.01.2014, 12:48

Schattenklinge

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Und was gebe ich nun als Lösungsmenge an?
Leere Menge? L = { }?

29.01.2014, 12:51

tigerbine

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Ja.

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