vollst. Induktion Potenz Matrix

29.01.2014, 14:00

Mr.Bibber

vollst. Induktion Potenz Matrix

Hallo

Kann mir jemand sagen, ob ich das richtig gemacht habe:

Gegeben ist eine Matrix

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich soll die zweite und dritte Potenz dieser Matrix mit der Matrixmultiplikation berechnen, und daraus eine Formel für die n-te Potenz dieser Matrix ableiten und diese dann mit vollständiger Induktion beweisen.

Ich habe ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also sollte die allgemeine Formel lauten:

$\begin{eqnarray*} A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese will ich nun durch vollständige Induktion beweisen:

Induktionsanfang) $\begin{eqnarray*} A^n \end{eqnarray*}$ ist wahr für n=1)

$\begin{eqnarray*} A^1 = A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Induktionsvoraussetzung) $\begin{eqnarray*} A^n \end{eqnarray*}$ ist wahr für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung) $\begin{eqnarray*} A^{n+1} \end{eqnarray*}$ ist wahr

Induktionsbeweis)

$\begin{eqnarray*} A^{n+1} = A^n * A^1 = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & n+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe ich das richtig gemacht?

Danke für die Hilfe

Gruß

29.01.2014, 14:09

klarsoweit

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RE: vollst. Induktion Potenz Matrix
Alles ok. Freude

EDIT: rein formal ist nur dieses verwirrend:

Zitat:

Original von Mr.Bibber
Induktionsanfang) $\begin{eqnarray*} A^n \end{eqnarray*}$ ist wahr für n=1)

$\begin{eqnarray*} A^1 = A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Induktionsvoraussetzung) $\begin{eqnarray*} A^n \end{eqnarray*}$ ist wahr für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung) $\begin{eqnarray*} A^{n+1} \end{eqnarray*}$ ist wahr

Da wird "A" auch in einem anderen Kontext verwendet.

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