Extrema mit NB |
| 30.01.2014, 08:46 | tInE33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, ich soll zu einer Funktion mit Nebenbedingung die Extrema bestimmen. f:R^2-->R, f(x,y): 3x^2-2xy+3y^2 Man soll hierfür die Extrema finden. Dabei komme ich auf ein Minimum in (0,0) und dann noch die Extrema von f auf der Kreislinie S={(x,y)?R|x²+y²=1} Meine Ideen: Bei zweiterem habe ich meine Probleme. Mit Hilfe der Multiplikatorregel von Lagrange bin ich zu folgenden Gleichungen gekommen: I) 6x-2y-2**x=0 II) 6y-2x-2**y=0 III) x²+y²=1 LaTeX-Tags ergänzt. Steffen Aber wie mache ich denn nun weiter? 
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| 30.01.2014, 09:07 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, teile hier
Gleichung 1 durch Gleichung 2. Lambda fällt dann weg. Du kannst dann nach y auflösen. Die Lösungen für y kannst du dann in die dritte Gleichung einsetzen und die Werte für x bestimmen. Grüße. |
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| 30.01.2014, 09:09 | tInE33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super, danke 
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| 30.01.2014, 10:05 | tInE33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich kann also die Gleichungen umstellen, so dass I: 2y=x(6-2 /lambda ) II: 2x=y(6-2 /lambda ) I:II : 2y/2x = x/y, also y²=x² in x²+y²=1 --> 2x²=1 also x²=1/2 --> y²=1/2, also sind meine 4 Punkte (+ - 1/Wurzel2; + - 1/Wurzel2) |
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| 30.01.2014, 10:33 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. 
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| 06.03.2014, 12:28 | tInE33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, ich habe noch eine Frage zu diesem Thema. Ich habe eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung x²+y²<=1 und die Funktion lautet f(x,y)=x^4+y^4+2x²y²+2x²-2y²+1 und soll die Extrema bestimmen. Kreisinnere: Wenn ich den Graduenten von f(x,y) berechne komme ich auf die kritischen Punkte (0,0), (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1) Wenn ich die Hessematrix bilde, komme ich zu folgendem Ergebnis: Sattelpunkt bei (0,0), kein Extremum bei (1,0) und (-1,0) da ich die Eigenwerte 16 und 0 herausbekomme und somit einer "verschwindet". lokales Minimum bei (1,0) und (0,-1) Kreislinie: Mithilfe der Multiplikatorregel von Lagrange komme ich wieder auf die Punkte (1,0), (-1,0) (0,1), (0,-1) Wenn ich die werte einsetze erhalte ich als Werte: 4 4 0 0 Da es sich ja um eine Kompakte Menge Menge handelt, besitzt die Funktion nach Weierstraß ein globales Maximum und Minimum, also genau diese Punkte. Kann das richtig sein? Mich verwirrt das, da ich ja Anfangs für (1,0) und (-1,0) herausgefunden hatte, dass es sich um kein Extremum handelt. Plötzlich ist es doch eines?? |
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| 06.03.2014, 13:20 | tInE33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hängt das vll damit zusammen, dass man Kreisinneres und die Kreislinie betrachtet? |
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| 06.03.2014, 14:52 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dazu hast du einen eigenen Thread Extrema mit Nebenbedingung aufgemacht. Hier könnte geschlossen werden. |
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