Frage zu Durchschnittsereignis

29.01.2014, 17:44

mathenoobie_

Frage zu Durchschnittsereignis

Hallo,

hier geht es um keine konkrete Aufgabe sondern um ein allgemeines Problem von mir, mir passiert es immer wieder bei Aufgaben in denen das vorkommt dass ich regelmäßig kurz auf dem Schlauch stehe wenn nach einem Durchschnittsereignis gefragt ist.

Also es gibt ja die Formel $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A) \times P(B) \end{eqnarray*}$ , die aber nur wenn A und B stochastisch unabhängig voneinander sind.

Was aber wenn das nicht so ist?

Bisher habe ich sowas dann immer irgendwie über diese Wahrscheinlichkeitstabelle gemacht in der ein paar Sachen vorgegeben sind und man das dann ergänzen kann.
Aber das muss doch auch irgendwie anders gehen?

Ein konkretes Beispiel an dem man vielleicht sieht was mein Problem ist :

Eine Zuvallsvariable ist mit R(4,5) rechteckverteilt. Bestimmen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(3\leq X\leq 5|X\geq 4,5) \end{eqnarray*}$ .

Die beiden Wahrscheinlichkeiten habe ich in vorigen Teilaufgaben schon berechnet, $\begin{eqnarray*} P(3\leq X\leq 5)=0,5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X\geq 4,5)=0,875 \end{eqnarray*}$ .

Wie mache ich das nun ? Ich habe hier die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$ .

Und da fängt es schon an.. wenn ich die obige Formel für unabhängige ZV anwende kann ich ja direkt das P(B) wegstreichen und hab dann P(A) aber das gilt ja wie gesagt nur wenn sie unabhängig sind und das weiß ich ja nicht..

Hab das Gefühl irgendwo mache ich einen Denkfehler, kann bitte jemand kurz erklären wie ich das Durchschnittsereignis allgemein richtig berechne, ohne die Wahrscheinlichkeitstabelle ( Vierfeldertafel) ??

29.01.2014, 18:29

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst darüber nachdenken, was der Durchschnitt von Ereignissen inhaltlich bedeutet!!!

Im konkreten Fall hier müssen beide die Ereignisse definierenden Bedingungen gemeinsam erfüllt sein, d.h.

$\begin{eqnarray*} [3\leq X\leq 5] \cap [X\geq 4.5] = [3\leq X\leq 5 \;\wedge\; X\geq 4.5] = [4.5\leq X\leq 5] \end{eqnarray*}$ .

Allgemeiner kann man bei solcher Art Ereignissen schreiben

$\begin{eqnarray*} [X\in A] \cap [X\in B] = [X\in A\cap B] \end{eqnarray*}$ .

29.01.2014, 18:37

mathenoobie_

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay also so etwas löst man grundsätzlich indem man sich über den Inhalt Gedanken macht? Es gibt keine allgemeine Formel oder so etwas?

29.01.2014, 18:39

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne Einschaltung des Gehirns geht es nicht, da kannst du noch so oft nach allgemein gültigen Rezepten fragen.

30.01.2014, 00:34

mathenoobie_alsgast

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay alles klar

Dann gleich noch ne Frage bei ders Wahrscheinlich auch mit Einschalten des Gehirns funktioniert:

Wenn ich dasselbe Experiment quasi mehrmals durchführe. Addiere oder multipliziere ich die Wahrscheinlichkeiten dann ?

Ich meine zum Beispiel diese Aufgabe:

In einer Urne befinden sich 500 Kugeln, jeweils 100 rote, grüne, blaue, gelbe und weiße. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei fünfmaligem Ziehen mit Zurücklegen alle Kugeln dieselbe Farbe haben?

Da ich die Kugeln zurücklege ist für jede Farbe bei jedem Ziehen also die Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden 0,2. Aber rechne ich dann 0,2 hoch 5 ?
Also muss ja so sein, addiert wärs ja eins aber kannst du anschaulich erklären wieso das so ist ?

Oder bei so Würfelaufgaben. Wenn da zum Beispiel gefragt ist wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass beim ersten Ziehen eine gerade Zahl und beim zweiten Ziehen eine 4 fällt. Oder auch wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass eine gerade Zahl größer 2 fällt. Das sind dann alles Aufgaben die ich ja auch lösen muss indem ich mir über den logischen Inhalt Gedanken mache.
Ich überlege mir dann immer zuerst welche Ausgänge alles möglich sind (gegebenenfalls mithilfe der kombinatorischen Formeln) und teile dann die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

Ist das okay so oder gibt es einfachere Wege?

Wie gehe ich dann mit diesem mehrmaligen Ziehen hintereinander um? Mach ichs zu kompliziert und ist es genauso wie wenn man 2 Würfel gleichzeitig wirft, wo man sich dann auch einfach überlegt welche und wieviele versch. Ausgänge/Kombinationen von Würfelzahlen gibt es jetzt ? Da addiere ich ja auch nichts oder multipliziere sondern überlege einfach.

Und wenn ich ohne zurücklegen ziehe muss ich ja darauf achten dass zB im Beispiel mit den Kugeln beim ersten ziehen die Wahrscheinlichkeit Gelb zu ziehen 100/500 ist und beim zweiten ohne zurücklegen dann nur noch 99/499. Das weiß ich noch.

So ich hoffe das war nicht zu viel und zu verwirrend, ich suche auch kein "allgemeines Rezept um nicht mehr denken zu müssen", ich hab nur manchmal nach ner Weile lernen für die Klausur Phasen in denen mein Hirn aus Müdigkeit so einfache (abstrakte) Sachen nicht unbedingt greifbar versteht, eine einfache kurze Erklärung die Überblick schafft wäre super smile

30.01.2014, 07:46

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathenoobie_alsgast
eine einfache kurze Erklärung die Überblick schafft wäre super

Die gibt's nicht - wie auch andere Fachrichtungen ist Stochastik kein Wissensgebiet, was sich mal schnell in einer Stunde abhandeln lässt. unglücklich

Es gibt gewisse wichtige Grundprinzipien, in aller Kürze und ohne Anspruch auf Vollständigkeit:

(a) Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung paarweise disjunkter Ereignisse ist gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

(b) Die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts unahbhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

(c) Die von dir genannte Laplacesche Wahrscheinlichkeitsdefinition:

Wahrscheinlichkeit = Anzahl günstige Versuchsausgänge / Anzahl aller möglichen Versuchsausgänge

Das ist allerdings nur dann anwendbar, wenn das richtige Grundmodell verwendet wird, d.h., wo die Versuchsausgänge alle gleichwahrscheinlich sind - das wird oft in Lösungsversuchen verletzt. Zur Berechnung diverser Anzahlen kann man auf gewisse Grundformeln zurückgreifen. Bei jeder einigermaßen komplexen Aufgabenstellung geht das aber nicht sofort, sondern erst nach Zerlegung des Problems in Teilprobleme, mitunter mehrstufig (dann wieder mit "Gehirneinsatz" Augenzwinkern

), bis dann z.B. (a) oder (b) greift.

Vielleicht zu deinem ersten Beispiel:

Zitat:

Original von mathenoobie_alsgast
In einer Urne befinden sich 500 Kugeln, jeweils 100 rote, grüne, blaue, gelbe und weiße. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei fünfmaligem Ziehen mit Zurücklegen alle Kugeln dieselbe Farbe haben?

Das Ereignis "alle Kugeln dieselbe Farbe" bedeutet

"alle Kugeln rot" oder "alle Kugeln grün" oder "alle Kugeln blau" oder "alle Kugeln gelb" oder "alle Kugeln weiß" (*),

es ist die Vereinigung dieser Teilereignisse. Diese sind paarweise disjunkt (d.h. durchschnittsfrei), denn es können ja nicht alle Kugeln rot und zugleich alle grün sein usw.
Damit greift Regel (a), wir haben die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Teilereignisse (*).

Nun zur Berechnung dieser Teilwahrscheinlichkeiten: Hier greift (b), da das Ziehen wegen des Zurücklegens unter immer jeweils gleichen Bedingungen und unabhängig von den vorherigen Ziehungen abläuft, d.h. man hat hier die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} 0.2^5 \end{eqnarray*}$ , wie von dir berechnet.

Insgesamt über die Summe von (*) hat man dann also als Gesamtantwort $\begin{eqnarray*} p = 5\cdot 0.2^5 = 0.0016 \end{eqnarray*}$ .

Ich gehe jetzt aber nicht auf dein gesamtes Sammelsurium von Aufgaben ein - wenn es dir ernst ist, stelle da Einzelanfragen. Und schaue dich vor allem auch im Forum um, auch und vor allem in der Schulstochastik

http://www.matheboard.de/board.php?boardid=20

da sind jede Menge Problemstellungen zu finden, die deinem Anfrageprofil ja eher elementarer Probleme entsprechen.

Neue Frage »

Antworten »

Frage zu Durchschnittsereignis

Verwandte Themen