Keine Lipschitz-Stetigkeit -> keine globale Existenz von Lösungen von DGLs? |
| 29.01.2014, 18:13 | Karla123456 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Keine Lipschitz-Stetigkeit -> keine globale Existenz von Lösungen von DGLs? Ich habe eine Differentialgleichung der folgenden Art: z'=f(z) Ich weiß, dass f nicht global Lipschitz-stetig ist. Kann ich daraus folgern, dass keine globale Lösung existiert? Meine Ideen: Man findet viele Sätze, in denen die Folgerung " Lipschitz -> Eindeitigkeit/Existenz" steht Bsp. Picard-Lindelöf. Aus diesen Sätzen kann ich das Gewünschte ja leider nicht folgern. Hat dazu jemand eine Idee? |
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| 29.01.2014, 19:52 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Keine Lipschitz-Stetigkeit -> keine globale Existenz von Lösungen von DGLs? Wähle so beliebig "schlimm", wie du möchtest, sorg nur dafür, dass eine Nullstelle existiert. Dann findest du relativ leicht eine globale Lösung der DGL. |
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| 29.01.2014, 20:24 | Karla123456 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Keine Lipschitz-Stetigkeit -> keine globale Existenz von Lösungen von DGLs? Ich hab eine Funktion f, die nicht Lipschitz-stetig ist. z'=a+bz+cz^(3/2) Ich benötige die Aussage, dass für diese DGL keine globale Lösung existiert. Ich hatte die Hoffnung, dass man irgendwie zeigen kann, dass die DGL keine globale Lösung hat, weil das f nicht global Lipschitzstetig ist. Stimmt diese Folgerung und wieso kann man dies folgern? |
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| 29.01.2014, 21:17 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Keine Lipschitz-Stetigkeit -> keine globale Existenz von Lösungen von DGLs? Was sind , und ? |
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| 29.01.2014, 21:22 | Karla123456 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Keine Lipschitz-Stetigkeit -> keine globale Existenz von Lösungen von DGLs? Das sind einfach irgendwelche positive, reelle Zahlen. |
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| 29.01.2014, 21:57 | dr.morrison | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, ich wuerde mal folgende Frage anregen: An was geht denn die globale Existenz schief, wenn wir nicht Lipschitzstetigkeit fordern? So denke ich, kann man sich der Frage gut naehern. |
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| 29.01.2014, 22:07 | Karla123456 | Auf diesen Beitrag antworten » |
wahrscheinlich können wir durch die Lipschitz-stetigkeit ausschließen, dass es Singularitäten gibt. Wenn die Lipschitz-Stetigkeit also nicht gilt haben wir Singularitäten und damit keine globale Lösung. Ist das so richtig? Wenn ja, warum weiß ich, dass wir dann Singularitäten haben? Irgendwie macht das Sinn, aber woran kann ich das sehen? |
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| 29.01.2014, 22:51 | dr.morrison | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, das geht in die richtige Richtung. Die Idee dahinter ist, dass die Steigungen Loesungen im Nichtlipschitzfall schneller als linear -- man denke etwa an exponentiell ansteigen -- und das kann dazu fuehren, dass die Funktion schon bei Annaeherung an endliche Argumente unendlich gross wird. |
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| 30.01.2014, 15:40 | Karla123456 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank. Also nochmal zusammengefasst: f(z) ist global nicht Lipschitz-stetig. Das bedeutet, dass f in mindestens einer Stelle und damit einer Umgebung (f ist stetig) davon schneller als linear wächst oder fällt. Da y'=f(y) gilt, hat auch y' diese Eigenschaft und damit hat y mindestens eine Singularität. Das bedeutet, dass y global nicht existiert. Ist das so richtig? |
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