Ruinwahrsch. Stoppzeit

29.01.2014, 21:44	Jenny0	Auf diesen Beitrag antworten »
Ruinwahrsch. Stoppzeit Hallo, kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Wäre Super. Jemand hat ein Startkapital $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und spielt ein faires Münzwürfspiel. Zeigt die Münze Zahl, gewinnt er 1 €, zeigt sie Kopf, verliert er 1€. Der Spieler möchte aufhören wenn er insgesamt $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ € hat. Er muss aufhören, wenn er nur noch den Betrag $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ hat. es gilt $\begin{eqnarray} a<x<b \end{eqnarray}$ sind ganze Zahlen. Die Wahrscheilichkeit beim Spiel Kopf zu erhalten liegt bei $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ sei das Ergebnis des n-ten Wurfs und $\begin{eqnarray} S_n:= x+X_1+...+X_n \end{eqnarray}$ der Kapitalstand nach $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ runden. Seien zwei Zufallsvariablen wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} T_a:= min(n \in \mathbb{N}\| S_n=a) \end{eqnarray}$ ist die Zeit zum Ruin und $\begin{eqnarray} T_b:= min(n \in \mathbb{N}\| S_n=b) \end{eqnarray}$ die Zeit zum Ausstieg mit Gewinn. $\begin{eqnarray} T:=T_a \wedge T_b \end{eqnarray}$ die Zeit, bei der Feststeht ob der Spieler als Gewinner oder Verlierer aufhört. Es gilt für $\begin{eqnarray} p \neq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ die Ruinwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} r_{x} := P_{x} \left\{ T=T_{a} \right\} =\frac{z^{x}-z^{a} }{z^{a} -z^{b} } \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z=(1-p)/p \end{eqnarray}$ . a) warum ist $\begin{eqnarray} t<\infty \end{eqnarray}$ fast sicher? b) Berechne die erwartete Spieldauer $\begin{eqnarray} E[t] \end{eqnarray}$ ------------------------------------- Meine Ideen: a) Ist es so, weil die Funktion Integrierbar ist? Und somit < unendlich ist? b) kann mir jemand hierfür ein Beispiel in Zahlen nennen? Z.B: für a:= 0 Startkapital x=100 Zielkapital b=1000? Vielleicht verstehe ich es so dann... Mit "Zahlenbeispiele" LG Jenny
30.01.2014, 17:10	BigMom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann leider nur bei der b) helfen, obwohl ich a) ziemlich offensichtlich finde Definiere $\begin{eqnarray} h(x)=E_x(T) \end{eqnarray}$ . Dann gilt natürlich $\begin{eqnarray} h(a)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h(b)=0 \end{eqnarray}$ . Mit der schwachen Markoff-Eigenschaft kann man zeigen, dass $\begin{eqnarray} h(x)=1+\frac{1}{2}(h(x-1)+h(x+1)) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\neq a,b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h(x)=(x+a)(b-x) \end{eqnarray}$ genügt den obigen Eigenschaften. Man muss dann noch zeigen, dass h die einzige Funktion ist, die diese Eigenschaften erfüllt.

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