Polynomring

29.01.2014, 22:13	lighthammer	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomring Meine Frage: a) Zeige, zu $\begin{eqnarray} f \in \mathbb Z [t] \end{eqnarray}$ gibt es ein $\begin{eqnarray} g \in \mathbb Z [t] \end{eqnarray}$ , sodass f-f(2)=(t-2)g b)Zeige, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi : \mathbb Z[t] \rightarrow \mathbb Z_{11}:f\mapsto \overline{f(2)} \end{eqnarray}$ ein Ringhomom. ist und bestimme das Bild und Erzeuger des Kerns von Phi. Meine Ideen:* Ich habe leider keinen Plan
30.01.2014, 01:12	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomring Hallo lighthammer, a) folgt, da 2 Nullstelle der linken Seite ist und der Polynomdivisionsalgorithmus durch (X-a) funktioniert (geht allgemein über faktoriellen Ringen durch Divisoren deren Leitkoeffizient eine Einheit ist) b) Bitte schreibe $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/11\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Deine Schreibweise hat mindestens 2 andere Verwendungen, für die sie in der Literatur kanonisch verwendet wird. Es faktorisiert $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[X] \rightarrow \mathbb{Z}/11\mathbb{Z}[X] \rightarrow \mathbb{Z}/11\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Der erste Homomorphismus hat offenbar $\begin{eqnarray} ker=(11) \end{eqnarray}$ , der zweite $\begin{eqnarray} ker=(X-2) \end{eqnarray}$ , also insgesamt $\begin{eqnarray} ker=(11, X-2) \end{eqnarray}$ . Dass das erste tatsächlich Ringhomomorphismus ist, ist standard (projektion auf Restklassenring). Das zweite ist ein Einsetzungshomomorphismus. Wenn ihr das in der Vorlesung noch nicht hattet, dann rechne es eben schnell nach. Außerdem ist die Abbildung natürlich surjektiv (betrachte z.B. das Bild von X-1) lg

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