Frage zur Berechnung der Koordinatenform einer Ebene in 3 Punkten

30.01.2014, 11:22

134340

Frage zur Berechnung der Koordinatenform einer Ebene in 3 Punkten

Moin

Es sind drei Punkte, welche die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks darstellen, mit den Koordinaten $\begin{eqnarray*} D_1(2;-2;2,2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A_1(2;2;2,2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S(0;0;3,2) \end{eqnarray*}$ gegeben. Für weitere Berechnungen benötige ich den Normalenvektor. Diesen berechne ich durch das Vektorprodukt (Ich kenne es als Kreuzprodukt); aber mit welchen Vektoren? Intuitiv würde ich jetzt $\begin{eqnarray*} \vec{A_1S} \times \vec{D_1S} \end{eqnarray*}$ (Welcher Punkt ist hierbei eigentlich der Startpunkt und welcher der Endpunkt des Vektors?) berechnen aber kann ich hier auch andere Vektorkombinationen verwenden?

30.01.2014, 11:24

riwe

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RE: Frage zur Berechnung der Koordinatenform einer Ebene in 3 Punkten
nimm, was du willst (soferne das Zeug linear unabhängig ist) smile

31.01.2014, 10:33

134340

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Die sind aufjedenfall linear unabhängig. Ich hab das jetzt mit $\begin{eqnarray*} \vec{A_1S} \times \vec{D_1S} \end{eqnarray*}$ durchgerechnet und komme auf den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in der Lösung steht aber $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wie kommen die darauf?

31.01.2014, 11:24

riwe

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Zitat:

Original von 134340
Die sind aufjedenfall linear unabhängig. Ich hab das jetzt mit $\begin{eqnarray*} \vec{A_1S} \times \vec{D_1S} \end{eqnarray*}$ durchgerechnet und komme auf den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in der Lösung steht aber $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wie kommen die darauf?

a) gibt es nicht EINEN normalenvektor, sondern unendlich viele, die (jeweils) linear abhängig sind, was du ja leicht überprüfen kannst.
b) offensichtlich ist hier

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\overrightarrow{SA}_1\times\overrightarrow{SD}_1 \end{eqnarray*}$

verwendet worden oder man hat einfach die beiden vektoren beim Kreuzprodukt vertauscht, was den Faktor -1 erklärt
c) wenn schon, denn schon, sollte man noch durch (-) 4 dividieren

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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