3 Aufgaben zu Bildern Abbildungen und Koordinatenmatrizen und co.

30.01.2014, 15:26	MatheErsti123	Auf diesen Beitrag antworten »
3 Aufgaben zu Bildern Abbildungen und Koordinatenmatrizen und co. Hallo, ich bereite mich im Moment auf unsere Lineare Algebra Klausur vor und habe bisher 3 Aufgaben gefunden, bei denen ich entweder eine Lösung habe, bei der ich mir absolut unsicher bin oder sogar gar keine Lösung gefunden habe. Ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet, diese 3 Aufgaben zu verstehen. 1.) Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, und sei $\begin{eqnarray} f:V->V \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} f\circ f =f \end{eqnarray}$ , d.h. für alle $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f(f(v))=f(v) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass dann gilt: $\begin{eqnarray} V=Kern(f)\oplus Bild(f) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen zu dieser Aufgabe: Im Grunde genommen basiert die zu beweisende Aussage auf der Dimensionsformel, die besagt, dass eben $\begin{eqnarray} dim V=dim Kern(f)+dim Bild(f) \end{eqnarray}$ . Leider habe ich Probleme bei dem Verständnis bezüglich der Definition der Abbildung. Kann es sich bei der Abbildung für die gilt, dass für alle $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f(f(v))=f(v) \end{eqnarray}$ um eine andere als die Identität handeln?! Angenommen es wäre so, dann müsste ja aus der Definition von Bild und Kern sowie der Dimensionsformel die Aussage fast schon folgen. 2.) Sei $\begin{eqnarray} f:F^3_3->f_3^3 \end{eqnarray}$ die Abbildung definiert durch $\begin{eqnarray} f(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} )=\begin{pmatrix} x+z \\ y+z \\ x+y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . a) Zeigen Sie, dass f eine lineare Abbildung ist. b) Geben Sie eine Basis von Bild(f) an. c) Zeigen Sie, dass das System von Vektoren $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine Basis vom $\begin{eqnarray} F_3^3 \end{eqnarray}$ ist und berechnen Sie die Koordinatenmatrix $\begin{eqnarray} A_{f,B,B} \end{eqnarray}$ von f bezüglich B. Meine Ideen zu dieser Aufgabe: a) Ich wollte hierfür zeigen, dass f sich mit skalarer Multiplikation und der Vektoraddition verträgt: $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \end{pmatrix} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_1+z_1+x_2+z_2 \\ y_1+z_1+y_2+z_2 \\ x_1+y_1+x_2+y_2 \end{pmatrix} =f\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} + f\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_3 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} a\in F_3^3 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} ax \\ ay \\ az \end{pmatrix} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a(x+z) \\ a(y+z) \\ a(x+y) \end{pmatrix} =a\begin{pmatrix} x+z \\ y+z \\ x+y \end{pmatrix} =af\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b) Da die Koordinatenmatrix bei C eine Determinante ungleich 0 hat, folgt, dass Ax=0 nur trivial lösbar ist und der Kern somit 0 ist. Demnach muss dim Bild=3 sein. Ist es nun legitim einfach die 3 kanonischen Einheitsvektoren mit f abzubilden und zu sagen, dass dies eine Basis sei? c) Ich habe B invertiert und $\begin{eqnarray} f(b_1),f(b_2),f(b_3) \end{eqnarray}$ berechnet. $\begin{eqnarray} A_{f,B,B} \end{eqnarray}$ müsste nun doch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} <b>^{-1}f(b_1) \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [B]^{-1}f(b_2) \end{pmatrix},\begin{pmatrix} [B]^{-1}f(b_3) \end{pmatrix}\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ ([B] ist die Matrix mit den Spalten b1,b2,b3) sein, oder liege ich da falsch? [B]3.) Sei V ein K-Vektorraum endlicher Dimension n>0 und seien $\begin{eqnarray} A,A'\in K^{nxn} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: a) Es exisitiert eine Matrix $\begin{eqnarray} S\in GL_n(K) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A'=SAS^{-1} \end{eqnarray}$ , d.h. A und A' sind ähnlich. b) Es existiert eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f:V->V \end{eqnarray}$ sowie Basen B und C von V, sodass gilt: $\begin{eqnarray} A_{f,B,B}=A, A_{f,C,C}=A' \end{eqnarray}$ Meine Ideen zu der Aufgabe:* " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ " Sei $\begin{eqnarray} S\in GL_n(K) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A'=SAS^{-1} \end{eqnarray}$ , dann gilt für S, dass es Basen in V gibt sodass S eine Übergangsmatrix zwischen diesen Basen ist. $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ f lineare von V nach V mit $\begin{eqnarray} A'=SAS^{-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_{f,B,B}=A, A_{f,C,C}=A' \end{eqnarray}$ " $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ " Es gilt die Basiswechselgleichung und somit gilt: $\begin{eqnarray} A'=A_{f,C,C}=CA_{f,B,B}C^{-1}=CAC^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ A und A' sind ähnlich. Ich hoffe der Artikel ist trotz der Fülle noch halbwegs lesbar und würde mich freuen wenn ihr mir helfen könnt Gruß MatheErsti P.S.: Ist es in solchen Fällen (falls das nochmal auftritt) eher erwünscht einen Artikel pro Aufgabe zu erstellen oder wie hier lieber alles in einen zu packen)
31.01.2014, 13:29	micha_L	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 3 Aufgaben zu Bildern Abbildungen und Koordinatenmatrizen und co. Hallo, zu deiner letzten Frage zuerst: Es ist sicher sinnvoller, immer nur eine Aufgabe pro Faden zu stellen. Überlege selbst, zu welchem Durcheinander es kommt, wenn verschiedene Helfer im gleichen Faden mit dir über unterschiedliche Aufgaben "gleichzeitig" reden. Deshalb gleich zur ersten Aufgabe: Nein, es gibt noch andere Matrizen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ als die Einheitsmatrix, für die $\begin{eqnarray} A^2=A \end{eqnarray}$ gilt. Beispiel: die Nullmatrix (ich will nicht lange suchen, es gibt weitere). Klar: Wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ invertierbar ist, dann folgt $\begin{eqnarray} A=E \end{eqnarray}$ (E stehe für die entsprechende Einheitsmatrix). Davon kannst du aber nicht ausgehen. Insbesondere wäre das die Konklusio dann auch sehr einfach. Ist $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ invertierbar, dann ist $\begin{eqnarray} \mathrm{ker}(A)=\{0\} \end{eqnarray}$ . Der Rest ist dann schon zu sehen, gell. Nun gibt es aber (dann nicht invertierbare) Matrizen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ungleich der Einheitsmatrix mit $\begin{eqnarray} A^2=A \end{eqnarray}$ . Insofern musst du dir also einen neuen Beweis überlegen. Mache es ganz handwerklich: Zeige, dass $\begin{eqnarray} \mathrm{Im}(A)\cap\mathrm{Ker}(A)=\{0\} \end{eqnarray}$ gilt. Finde dann für ein beliebiges $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ Elemente $\begin{eqnarray} u\in\mathrm{Im}(A) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w\in\mathrm{Ker}(A) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v=u+w \end{eqnarray}$ . Das ist übrigens der schwierigste Teil und wenn du gesehen hast, wie's geht, wirst du dir vermutlich an die Stirn schlagen. Daher gebe ich dazu zunächst keinen weiteren Tipp. Probier halt mal. Vielleicht doch: Verwende $\begin{eqnarray} f^2=f \end{eqnarray}$ . Mfg Michael PS: $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ sei eine darstellende Matrix für $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ .
04.02.2014, 18:20	MatheErsti123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es tut mir sehr Leid, dass ich mich nicht gemeldet habe, ich war krank und kam irgendwie nicht wirklich dazu diese Aufgaben weiter zu bearbeiten. Ich habe nun folgenden Beweis für die 1. Aufgabe: Laut Dimensionsformel gilt: dim V = dim Bildf + dim Kernf Sei nun $\begin{eqnarray} (w_1,...,w_n) \end{eqnarray}$ eine Basis des Kerns und W' das Komplement in V zu dem Kern (W). Sei ferner $\begin{eqnarray} (w'_1,...,w'_m) \end{eqnarray}$ eine Basis von W'. Dann folgt aus der Definition von W und W' als Komplemente, dass $\begin{eqnarray} (w_1,...,w_n,w'_1,...w'_m) \end{eqnarray}$ eine Basis von V sein muss. Sei nun U das Bild von f und $\begin{eqnarray} (u_1,...,u_m) \end{eqnarray}$ eine Basis von U. Nun bildet f die Basis von V ab: $\begin{eqnarray} f(w_1,...,w_n)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(w'_1,...w'_m)=(u_1,...,u_m) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (w_1,...,w_n,u_1,...,u_m) \end{eqnarray}$ ist ebenfalls eine Basis von V $\begin{eqnarray} \Rightarrow V=U\oplus W \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} V=Kern(f)\oplus Bild(f) \end{eqnarray}$ Aufgabe 2 und 3 haben sich mittlerweile erledigt, da ich diese eigenständig lösen konnte bzw. gemerkt habe, dass meine Ideen für Aufgabe 2 schon die Lösung waren. Für 1 habe ich zwar auch diese "Lösung", aber ich weiß nicht, ob sie richtig ist. Es wäre also sehr nett, wenn du nochmal drüber schauen könntest!

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