Herleitung Formel Bogenlänge einer Spirale / Polarkoordinatensystem

30.01.2014, 18:03	Eddy_1998	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung Formel Bogenlänge einer Spirale / Polarkoordinatensystem Hallo, Ich schreibe gerade meine Facharbeit über die Bogenlänge einer Spirale und komme nicht weiter. Folgendes habe ich schon bewiesen: $\begin{eqnarray} L = \int_a^b \! (1+(f'(x))²) \, dx \end{eqnarray}$ Auch die Zusammenhänge zwischen karthesischem und Polarkoordinatensystem habe ich bereits: $\begin{eqnarray} y = sin(phi) r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = cos(phi) * r \end{eqnarray}$ Aber ab hier komme ich nicht weiter. Mein Ansatz:* Man geht noch ein wenig zurück im Beweis des Bogenlängenbeweises von Funktionen: $\begin{eqnarray} L = \int_a^b \! \sqrt{(deltax² + deltay²)} \ \end{eqnarray}$ Dann erweitert man mit t (falls das richtig ist, bitte erklären was dieses t ist und woher es kommt) $\begin{eqnarray} L = \int_a^b \! \sqrt{(\frac{deltax² deltat²}{deltat²} + \frac{deltay² * deltat²}{deltat²})} \ \end{eqnarray}$ Formt das ein wenig um $\begin{eqnarray} L = \int_a^b \! \sqrt{(\frac{deltax}{deltat})² + (\frac{deltay}{deltat})²} \ deltat \end{eqnarray}$ Und das scheint dann ja irgendwie zu sein (wieder: falls richtig, bitte erklären ) $\begin{eqnarray} L = \int_a^b \! \sqrt{x'²+y'²} \, dt \end{eqnarray*}$ Jetzt muss ich irgendwie die x= und y= Gleichungen von diesem t abhängig machen. Das ganze dann ableiten und für x'² und y'² einsetzen. ABER: Wie soll ich das abhängig machen und wie soll ich dann ableiten? Bitte helft mir Eddy PS: Habe schon zig mal gegoogelt, also bitte nicht einfach mit "SUCHFUNKTION" antworten
30.01.2014, 18:47	Eddy_1998	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem "irgendwie die x= und y= Gleichungen abhängig machen" habe ich jetzt geschafft. Habe dieses ominöse t einfach durch phi ersetzt. Dann: $\begin{eqnarray} x = r(phi) cos (phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x' = cos(phi)r' - sin(phi) r \end{eqnarray}$ (Produktregel, weil r und cos von phi abhängig sind) $\begin{eqnarray} y = r(phi) * sin(phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y' = sin(phi) * r' + cos(phi) * r \end{eqnarray}$ Da x' dasselbe wie deltax/deltat (bzw delta phi) ist und y' = deltay/deltat habe ich jetzt (in die Urfunktion eingesetzt) $\begin{eqnarray} L = \int_a^b \! \sqrt{(cos(phi) * r' - sin(phi) * r)² + (sin(phi) * r' + cos(phi) * r)²} \, dphi \end{eqnarray}$ Dann nach binomischen Formeln ausrechnen, da kürzt sich viel weg und es bleibt $\begin{eqnarray} L = \int_a^b \! \sqrt{cos²(phi)r'²+sin²(phi)r'²+cos²(phi)r²+sin²(phi)r²} \, dphi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L = \int_a^b \! \sqrt{r'²(cos²(phi)+sin²(phi))+r²(cos²(phi)+sin²(phi))} \, dphi \end{eqnarray}$ Da sin²x+cos²x = 1 ergibt sich ( ENDLICH ) $\begin{eqnarray} L = \int_a^b \! \sqrt{r'²+r²} \, dphi \end{eqnarray*}$ Mann, bin ich stolz da selbst draufgekommen zu sein. Hoffe, das hier hilft noch jemand anderem Eddy
27.10.2014, 11:44	derAndere	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke hat mir sehr geholfen, stand vor nem ähnlichen problem..

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