Stetigkeit der Umkehrabbildung

30.01.2014, 18:25

Terry Lyndon

Stetigkeit der Umkehrabbildung

Hallo, ich beschäftige mich gerade mit der Diffeomorphie

$\begin{eqnarray*} S^1 \cong \mathbb R P^1 := S^1 / z \sim -z \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} S^1 \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$

Der Diffeomorphismus den ich betrachte lautet

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R P^1 \to S^1 , z \mapsto z^2 \end{eqnarray*}$

Bijektivität und Stetigkeit von f habe ich gezeigt, nur wie zeige ich nun, dass die Umkehrfunktion ebenfalls stetig ist?

01.02.2014, 08:51

Terry Lyndon

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Projektiver Raum und S^1 sind kompakt und hausdorffsch

zz.:
$\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ stetig <=> $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen für A abgeschlossen (im jeweiligen Raum)

A abgeschlossen
=> A Kompakt, da $\begin{eqnarray*} \mathbb R P^1 \end{eqnarray*}$ Kompakt
=> $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ kompakt als stetiges Bild eines Kompaktums
=> $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen, da $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ Hausdorffsch

01.02.2014, 12:17

Che Netzer

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Genau, stetige Bijektionen von einem Kompaktum in einen Hausdorff-Raum sind homöomorph.
Dass sogar $\begin{eqnarray*} \mathbb R\mathrm P^1 \end{eqnarray*}$ hausdorffsch und $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ kompakt ist, braucht man hier gar nicht.

So zeigst du allerdings nur Homöomorphie, keine Diffeomorphie.

01.02.2014, 13:00

Terry Lyndon

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Zitat:

Original von Che Netzer
Dass sogar $\begin{eqnarray*} \mathbb R\mathrm P^1 \end{eqnarray*}$ hausdorffsch und $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ kompakt ist, braucht man hier gar nicht.

Richtig, wie man an dem Schluss sieht smile

trotzdem danke für die Anmerkung.

Zitat:

So zeigst du allerdings nur Homöomorphie, keine Diffeomorphie.

Das ist auch richtig, meine Frage hat sich aber auf die Stetigkeit der Umkehrabbildung beschränkt.

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