Vollständige Induktion

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30.01.2014, 18:54	oliralf	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Hallo komme nichzt mit der aufgabe klar. Beweisen sie durch vollständige induktion: 1+3+5+...+(2n-1)=n² Vielen DAnk
30.01.2014, 19:03	Terry Lyndon	Auf diesen Beitrag antworten »
n = 1 sollte klar sein oder? Für den Schritt addiere etwas zur Gleichung, sodass auf der Linken Seite die Summe zu 2(n+1) - 1 erweitert wird.
30.01.2014, 19:36	oliralf	Auf diesen Beitrag antworten »
n = 1 das weiss ich ! aber weiter weiss ich net wie es geht!
30.01.2014, 21:57	oliralf	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A(n)=\sum\limits_{k=1}^n (2k-1)= 1+3+5+.....2n-1=n² \end{eqnarray}$ Stimmt das so `?
30.01.2014, 22:13	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst nun den Schritt von $\begin{eqnarray} n\to n+1 \end{eqnarray}$ machen. Also zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)=(n+1)^2 \end{eqnarray}$
30.01.2014, 22:21	oliralf	Auf diesen Beitrag antworten »
K=1 das bleibt immer so oder? nur das n mussen wir mit unterschiedlichen Werten nehmen oderr? Vielen Dank
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30.01.2014, 22:34	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht ganz was du meinst. Ist dir die Summenschreibweise noch nicht ganz klar? k=1 bezeichnet den Startindex. Wir fangen also bei 1 an und setzen jeweils jede natürliche Zahl von 1 bis n+1 ein und summieren das auf: $\begin{eqnarray} \underbrace{1+3+5+...+2n-1}_{n-\text{Summanden}}+\underbrace{2(n+1)-1}_{(n+1)-\text{Summand}} \end{eqnarray}$ Der n+1 Summand ist also jener, welcher neu hinzugekommen ist. Die ersten n Summanden sind das was du auch schon vorher hattest und am Startindex ändert sich gar nichts. Wir gehen nur einen Schritt weiter als zuvor. Und nun sollst du zeigen, dass obiger Term das selbe ist wie $\begin{eqnarray} (n+1)^2 \end{eqnarray}$
30.01.2014, 22:47	oliralf	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe so gemeint $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)=(n+1)^2<br /> \sum_{k=1}^{1+1} (21-1)=(2+1)^2 \end{eqnarray*}$ So meinte ich es?
30.01.2014, 22:55	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das macht eigentlich keinen Sinn und ist auch falsch.
30.01.2014, 23:13	oliralf	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)=(n+1)^2<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)+(2(n+1)-1) =(n+1)^2<br /> \end{eqnarray}$ Stimmt das so?
30.01.2014, 23:23	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du den letzten Summanden aus der Summe ziehst, dann musst du natürlich auch den Endwert anpassen. Das die Summe dann das selbe ist wie (n+1)² musst du natürlich noch zeigen. Einfach hinschreiben zählt nicht.
30.01.2014, 23:28	oliralf	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)+(2n+1) =(n+1) (n+1)<br /> \end{eqnarray}$ meinen sie es so ?
30.01.2014, 23:31	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Also wir haben die Summe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n(2k-1)+2(n+1)-1 \end{eqnarray}$ Nun setze die Induktionsvoraussetzung ein.
30.01.2014, 23:45	oliralf	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n(2k-1)+(2(n+1)-1)=(n +1)² \end{eqnarray}$ Muss ich auch die (2(n+1)-1) auch auf der rechten seiten hin schreiben ? Danke
30.01.2014, 23:50	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Lass das (n+1)² erst einmal weg. Schreibe es so in der Art auf: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n(2k-1)+2(n+1)-1=...=...=(n+1)^2 \end{eqnarray}$
30.01.2014, 23:56	oliralf	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n(2k-1)+2(n+1)-1=n²=n²+2(n+1)-1=n²+2n+1 \end{eqnarray}$ so ? vielen dank
31.01.2014, 00:05	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du den Teil mit dem =n^2 weg lässt, dann passt es bisher. Und wie können wir nun n^2+2n+1 nach schreiben?
31.01.2014, 00:09	oliralf	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomische formel. $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n(2k-1)+2(n+1)-1=n²+2(n+1)-1=n²+2n+1=(n+1)(n+1)=(n+1)² \end{eqnarray}$ Vielen Dank
31.01.2014, 00:10	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Jup. Wenn du es aufs Papier bringst, dann solltest du noch die Stelle kennzeichnen an der du die Induktionsvoraussetzung ausnutzt.
31.01.2014, 00:28	oliralf	Auf diesen Beitrag antworten »
lol Ok wo bringe ich überhaupt die Vorausetzung? Danke
31.01.2014, 13:51	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Da wo du den Summenausdruck durch $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ ersetzt. Damit es vielleicht etwas klarer wird solltest du die Induktionsvoraussetzung vorher vielleicht noch einmal explizit formulieren: Für festes aber beliebiges $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ .... Ist dir das Prinzip der vollständigen Induktion überhaupt klar geworden?

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