T(MxN) diffeomorph zu TMxTN

30.01.2014, 18:59	Terry Lyndon	Auf diesen Beitrag antworten »
T(MxN) diffeomorph zu TMxTN Wie, nach der Überschrift, schon zu vermuten möchte ich zeigen: $\begin{eqnarray} T( M \times N ) \cong TM \times TN \end{eqnarray}$ Leider fehlt mir dazu jeder Ansatz, vielleicht denke ich zu kompliziert.
06.02.2014, 16:51	Terry Lyndon	Auf diesen Beitrag antworten »
Def. Projektionsabbildung (für N analog): $\begin{eqnarray} p_m: M \times N \to M \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u = (p, q) \mapsto p \end{eqnarray}$ Def. Abbildung $\begin{eqnarray} f: T( M \times N ) \to T M \times T N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_U \mapsto (p_{m}(X_u), p_{n}(X_u) \end{eqnarray}$ Wähle Atlanten von M, N $\begin{eqnarray} \{ ( U_\alpha, h_\alpha) \} \end{eqnarray}$ von M $\begin{eqnarray} \{ ( V_\alpha, k_\alpha) \} \end{eqnarray}$ von N Dadurch sind Atlanten für T M und T N bestimmt, ausserdem ist $\begin{eqnarray} \{ ( U_\alpha \times V_\beta, h_\alpha \times k_\beta) \} \end{eqnarray}$ Atlas von M x N, womit ein Atlas für T(MxN) gegeben ist. Setzt man die Karten passend zusammen, ergibt sich unabhängig vom Punkt u und von der Kartenwahl die Koordinatendarstellung der Abbildung: $\begin{eqnarray} (x, y, v, w) \mapsto (x, v, y, w) \end{eqnarray}$ Also Diffeomorphismus.
07.02.2014, 19:03	Terry Lyndon	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann jemand vielelicht noch ein "Okay", oder "nicht Okay" druntersetzen? Falls ich irgendwo zu voreilig war...

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