Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines gleichschenkligen Dreiecks

31.01.2014, 10:32

134340

Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines gleichschenkligen Dreiecks

Moin

Ich habe ein gleichschenkliges Dreieck mit den Punkten $\begin{eqnarray*} A_1(2;2;2,2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B_1(-2;2;2,2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S(0;0;3,2) \end{eqnarray*}$ gegeben. Gesucht ist der Schwerpunkt also der Punkt andem sich alle Seitenhalbierenden schneiden. Diesen Punkt würde ich gern mit so wenig rechenaufwand wie möglich berechnen; dazu habe ich erstmal einen Punkt $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ in der Mitte zwischen $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ mit (0;2;2,2) bestimmt. Dann habe ich den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{P_1S} =\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ berechnet und ihn mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ mulitpliziert. Das hat aber nicht funktioniert und ich versteh nicht ganz warum unglücklich

Eigentlich müsste doch dann der Wert des gesuchten Punktes dabei rauskommen oder nicht?

31.01.2014, 11:03

klauss

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RE: Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines gleichschenkligen Dreiecks
Du suchst ja den Ortsvektor des Schwerpunktes bezogen auf den Ursprung, berechnest den Schwerpunkt aber ausgehend von $\begin{eqnarray*} P_{1} \end{eqnarray*}$ . Also mußt Du
$\begin{eqnarray*} \vec{P_{1}}+\frac{1}{3}\vec{P_{1}S} \end{eqnarray*}$
bestimmen.

31.01.2014, 11:34

riwe

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RE: Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines gleichschenkligen Dreiecks
der geringste Aufwand wäre vermutlich

$\begin{eqnarray*} S=\frac{1}{3}\cdot(A+B+C) \end{eqnarray*}$

31.01.2014, 13:08

134340

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RE: Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines gleichschenkligen Dreiecks
@klauss
Stimmt ich such ja den Ortsvektor des Schnittpunktes. Ich dachte mir dass ich einfach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ mit der Strecke zwischen $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ multipliziere und dann den Schnittpunkt hätte; aber das geht ja garnicht, weil das ein Vektor ist und keine Strecke.
Du hast absolut recht mit $\begin{eqnarray*} \vec{P_{1}}+\frac{1}{3}\vec{P_{1}S} \end{eqnarray*}$ hat es funktioniert Freude

Aber ist das wirklich die Lösung welche am wenigsten rechenaufwand erfordert?

Mit welchem Programm hast du denn die Zeichnung angefertigt? smile

@riwe
Was meinst du mit A,B und C?

31.01.2014, 13:12

riwe

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RE: Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines gleichschenkligen Dreiecks

Zitat:

Original von 134340

@riwe
Was meinst du mit A,B und C?

was wäre denn dein Verdacht, könnte A bedeuten verwirrt

31.01.2014, 13:44

134340

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@riwe
Meinst du damit die Seitenhalbierenden? Weil dann müsste ich ja vorher erstmal die Seitenhalbierenden berechnen und das wäre ja bei dreien unnötig, da ich ja mit dieser methode auch einfach zwei nehmen könnte.

31.01.2014, 13:47

klauss

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RE: Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines gleichschenkligen Dreiecks
Das Programm ist Winplot 1.55.

Den Weg von riwe hätte ich sonst etwas ausführlicher als "physikalische" Lösung vorgeschlagen:
Der Schwerpunkt eines Dreiecks kann als Schwerpunkt dreier Massepunkte, der Eckpunkte, im Raum aufgefaßt werden. Dann berechnen sich die Koordinaten des Schwerpunkts hier mit
$\begin{eqnarray*} \frac{{m \vec A_{1}+m \vec B_{1}+m \vec S } }{3m} \end{eqnarray*}$
Belegt man alle 3 Punkte mit der gleichen Masse, kürzt sich m raus und man ist bei der besagten Lösung.

31.01.2014, 13:49

riwe

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Zitat:

Original von 134340
@riwe
Meinst du damit die Seitenhalbierenden? Weil dann müsste ich ja vorher erstmal die Seitenhalbierenden berechnen und das wäre ja bei dreien unnötig, da ich ja mit dieser methode auch einfach zwei nehmen könnte.

das soll einfach bedeuten:

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac{1}{3}\cdot(x_A+x_B+x_C) \end{eqnarray*}$ usw.

edit: A, B und C sind die eckpunkte des 3ecks, S sein Schwerpunkt

31.01.2014, 13:51

HAL 9000

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@134340

Wahrscheinlich verwirrt dich die Symbolkollision: Während $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ bei dir einer der Dreieckpunkte ist, meint Werner in seiner Formel damit den Schwerpunkt. Also gut, auf dein Problem angewandt ist dann kollisionsfrei geschrieben

$\begin{eqnarray*} M = \frac{1}{3}\cdot(A_1+B_1+S) \end{eqnarray*}$

mit (ausnahmsweise mal) $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ als Schwerpunkt.

EDIT: Upps, zu spät, Werner ist doch noch da.

31.01.2014, 14:31

riwe

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@ HAL 9000:
du hast natürlich recht, ich hatte seine Bezeichner zu spät "verinnerlicht" Augenzwinkern

03.02.2014, 11:55

134340

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Sorry, dass ich mich erst jetzt wieder Melden kann.

Riwe ich hatte deine Methode zuerst nicht verstanden, aber jetzt hab ich sie aber verstanden smile

Das ist wirklich eine sehr schnelle Lösung Freude

Danke für eure Hilfe Big Laugh

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