Kurvendiskussion

31.01.2014, 12:19

Bonheur

Kurvendiskussion

Ich habe mich wieder an eine Abituraufgabe getraut und wollte schauen, ob ich solche Aufgaben jetzt lösen kann. Ich weiß, dass das ganz viel ist, aber ich habe keine andere Wahl traurig

$\begin{eqnarray*} f_a(x) = \frac{(x-3a)^{2}}{x-a}, \, a \in \mathbb{R}, \, a > 0 \end{eqnarray*}$

a) Geben Sie den Defintionsbereich der Funktionen $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ an.
Begründen Sie, dass $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ eine Polstelle ist.
Bestimmen Sie eine Gleichung für die schräge Asymptote.

b) Ermitteln Sie die Koordinaten und Art der lokalen Extrempunkte der Graphen von $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ .
Begründen Sie, dass keiner der Graphen einen Wendepunkt besitzt.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, auf der die lokalen Hochpunkte der Graphen $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ liegen.

e) Zeigen Sie, dass die Funktionsgleichung von $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ in der Form

$\begin{eqnarray*} f_1(x)=x-5+\frac{4}{x-1} \end{eqnarray*}$ geschrieben werden kann.

Der Graph von $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ , die Gerade mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} y=x-5 \end{eqnarray*}$ sowie die Senkrechte $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ schließen eine Fläche ein, die ins Unendliche reicht.
Prüfen Sie, ob dieser Fläche ein endlicher Flächeninhalt zugeordnet werden kann.

Idee:
Aufgabe a)
Um zu überprüfen, ob die Funktionenschar eine Polstelle besitzt, muss man schauen, wann der Nenner null wird.
Es gilt: $\begin{eqnarray*} N(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x-a=0 => x=a \end{eqnarray*}$
Daraus kann man nun den Definitionsbereich bestimmen.
Sprich: $\begin{eqnarray*} D_f=x \in \mathbb{R} / {x \neq a} \end{eqnarray*}$

Begründung:
Wenn der Wert für a und der Wert für x gleich sind, dann würde null als Resultat kommen, welches zur Folge hat, dass man eine Polstelle hat, weil die Funktion in dem Fall nicht mehr definierbar ist.

Leider weiß ich nicht, wie man die Gleichung für die Asymptote bestimmt. unglücklich

Aufgabe b)

Nun muss man die Funktionenschar auf Extrema untersuchen.

$\begin{eqnarray*} f_a(x) = \frac{(x-3a)^{2}}{x-a} \end{eqnarray*}$

Unter Verwendung der Quotientenregel, ergibt sich für die Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f'_a(x) = \frac{(x+a) \cdot (x-3 \cdot a)}{(x-a)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_a(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}-2 \cdot a \cdot x-3 \cdot a^{2}=0 => \, x_1=3\cdot a |x_2=-a \, => P_1\left(3 \cdot a\,|\,0\right) \text{und} \, P_2\left(-a\,|\, -8 \cdot a\right) \end{eqnarray*}$

Art der Extrema:

$\begin{eqnarray*} f_a''(x)=\frac{8 \cdot a^{2}}{(x-a)^{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''_a(3 \cdot a)=\frac{1}{a} > 0 => \, \text{Minimum} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''_a(-a)=-\frac{1}{a} < 0 => \, \text{Maximum} \end{eqnarray*}$

Nun stellt sich allerdings die Frage, warum es keine Wendepunkte gibt. Leider habe ich hier keine Idee. Bitte um einen Ansatz unglücklich

Ortskurve bestimmen:
Da man die Gleichung von Hochpunkten benötigt, brauchen wir den zweiten Punkt:

$\begin{eqnarray*} P_2\left(-a\,|\, -8 \cdot a\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=-a \, \, \, y=-8 \cdot a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} o(x)=8x \end{eqnarray*}$

Aufgabe e)

$\begin{eqnarray*} f_1(x)=\frac{(x-3)^{2}}{x-1}=\frac{(x-3)\cdot(x-3)}{x-1}= \end{eqnarray*}$

Leider habe ich hier keine Idee unglücklich

Zur allerletzten Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} y=x-5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_3^{\infty}\frac{(x-3)^{2}}{x-1} \,dx \end{eqnarray*}$ Ist dieser Ansatz korrekt verwirrt

Vielen Dank schon mal

31.01.2014, 13:31

Mi_cha

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