Gebrochenrationale Funktion untersuchen |
| 31.01.2014, 13:26 | Rosemarie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Gebrochenrationale Funktion untersuchen Hallo, ich muss am Di in Mathe ine Hausaufgabenprästentation halten und habe keine Ahnung, wie ich die Aufgabe lösen soll :S Die Aufgabe lautet: Abb.2 zeigt den Graphen G(f) einer R\{1} definierten gebrochen-rationalen Funktion g mit Folgenden Eigenschaften: - Die Funktion g hat in x=1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; - G(f) verläuft stets oberhalb siner schrägen Asymptote, die durch die Gleichung y=0.5x-1 gegeben ist; - die einzige Nullstelle von g ist x=-1. a)Ermitteln sie mithilfe von Abb.2 näherungsweise den Wert der Ableitung g' von g an der Stelle x=-1; veranschaulichen sie ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in der Abbildung. Aus der Gleichung der Schrägen Asymptote ergibt ich unmittelbar das Verhalten der Ableitung g' für x-> + *unendlich* und x-> - *unendlich*. Geben sie dieses Verhalten an und skizzieren Sie den Graphen von g' in Abb.2. b) Die Funktion g hat eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III mit a *ist Element von* R\{0}: I: y=x-1+(a/(x-1)²) II: y=0.5x-1+(a/(x-1)) III: y=0.5x-1+(a/(x-1)²) Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine Gleichung der Form II als Funktionsgleichung von g infrage kommt. Die Funktionsgleichung von g hat also die Form III. Bestimmen sie den passenden Wert von a. Meine Ideen: Ich habe leider nicht den blassesten Schimmer, was ich überhaupt machen soll und wie das geht. Ich wäre euch wirklich sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet. Wenn ich on bin kann ich auch versuchen, auf konkrete Fragestellungen zu antworten oder so. lg Rosemarie |
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| 31.01.2014, 13:43 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Funktionsterm einer gebrochenrationalen Funktion anhand bestimmter Bedindungen bestimmen Herzlich willkommen im Matheboard!
Du sollst
Dann fangen wir mal an. Wie könntest Du g'(-1) bestimmen? Viele Grüße Steffen |
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| 31.01.2014, 14:45 | Rosemarie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Funktionsterm einer gebrochenrationalen Funktion anhand bestimmter Bedindungen bestimmen indem ich die funktionsgleichung bestimme, die ableitung aufschreibe und für x -1 einsetze allerdings komme ich nicht auch den funktionsterm |
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| 31.01.2014, 14:48 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Funktionsterm einer gebrochenrationalen Funktion anhand bestimmter Bedindungen bestimmen Genau, so wirst Du auch nicht froh. Aber es steht ja zum Glück auch da
Hast Du jetzt eine Idee? |
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| 31.01.2014, 14:52 | Rosemarie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Funktionsterm einer gebrochenrationalen Funktion anhand bestimmter Bedindungen bestimmen ich habe immer noch wenig ahnung aber muss ich eine gerade durch diesen ounkt legen und dann die steigung ablesen? |
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| 31.01.2014, 15:03 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Funktionsterm einer gebrochenrationalen Funktion anhand bestimmter Bedindungen bestimmen
Genau das! Mach mal. |
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| 31.01.2014, 15:07 | Rosemarie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Funktionsterm einer gebrochenrationalen Funktion anhand bestimmter Bedindungen bestimmen strigung ist 6? also isu die lösung 6 |
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| 31.01.2014, 15:11 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wenn ich ein Lineal auf den Monitor lege, das für x=-1 die Kurve berührt, hat das keine Steigung von 6. Wie hast Du den Wert bestimmt? |
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| 31.01.2014, 15:12 | Rosemarie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
oh, hab falsch gezählt: 2,5 |
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| 31.01.2014, 15:20 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich zähle sogar nur 2. Aber das ist vielleicht Ablesegenauigkeit. Schau aber sicherheitshalber selber noch mal, ob Dein Lineal genau in einem Punkt an der Kurve liegt - nur dann stimmt die Steigung! Gut, Punkt 1 ist erledigt. Gehen wir zu 2: Welchen Wert hat g'(x), wenn x gegen plus und minus Unendlich geht? |
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| 31.01.2014, 15:24 | Rosemarie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
steigt gegen plus unendlich |
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| 31.01.2014, 15:28 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das macht g(x) für x gegen plus Unendlich. Aber mit welcher Steigung? Das ist doch gefragt. Und mit welcher Steigung geht's in die andere Richtung? |
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| 31.01.2014, 15:32 | Rosemarie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
6 in die eine und -6 in die andere, aber ich glaub, ich muss es über den limes und die asymptotengleichung angeben |
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| 31.01.2014, 15:39 | Rosemarie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für die Hilfe, ich hab alleine weitergemacht und ich denk, dass ich's richtig hab. Ohne Sie hätte ich schon am anfang aufgegeben 
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| 31.01.2014, 15:41 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie Du immer auf die Steigung 6 kommst, ist mir ein Rätsel. Außerdem steigt die Funktion in beiden Fällen positiv: wenn Du ganz links und ganz rechts ein Lineal anlegst, siiehst Du's - und auch, dass diese Steigung nicht 6 beträgt.
Ja, das ist einfacher. Du hast ja die Steigung der Asymptote. Also? |
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| 31.01.2014, 16:26 | Rosemarie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das mit der 6 ist noch von vorhin die asymptotensteigung ist 0.5x-1 --> für +unendlich steigt es immer weiter an, für - undendlich fällt es immer weiter |
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| 31.01.2014, 16:31 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, der Graph steigt in der Tat immer weiter, so wie auch die Asymptote ja weiter ansteigt. Aber die Steigung selber steigt nicht weiter an, sondern der Graph schmiegt sich ja (in beiden Fällen) an die Asymptote. Was kannst Du also über die Steigung sagen? Viele Grüße Steffen |
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| 31.01.2014, 16:51 | Rosemarie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
??? |
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| 31.01.2014, 16:58 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Asymptote ist doch eine Gerade, in die der Graph sozusagen "hineinläuft". Sehr banal ausgedrückt, stimmen Gerade und Graph im Unendlichen überein. Dann haben sie dort also auch dieselbe Steigung! Was ist also der Wert von g'(x) für x gegen plus/minus Unendlich? |
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| 31.01.2014, 17:03 | Rosemarie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
die steigung bleibt gleich? |
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| 31.01.2014, 17:14 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja! Und wie groß ist sie? |
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| 31.01.2014, 17:16 | Rosemarie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
2 |
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| 31.01.2014, 17:45 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nicht raten. Wenn die Asymptotengleichung y=0.5x-1 ist, wie groß ist die Steigung der Asymptote - und damit des Graphen im Unendlichen? |
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| 31.01.2014, 18:50 | Rosemarie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
0,5 |
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| 01.02.2014, 12:43 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So ist es. Das ist der Wert von g'(x) für x gegen plus/minus Unendlich. Dann kennen wir den Wert von g'(x) für x=-1. So können wir also allmählich die Ableitung skizzieren. Ein paar weitere Werte wären vielleicht noch hilfreich, zumindest wo g(x) steigt oder fällt. Da ist die Ableitung ja positiv bzw. negativ - also über bzw. unter der x-Achse. Und dann könnten wir noch schauen, wo die Ableitung den Wert Null hat. Mit diesen Informationen kannst Du dann g'(x) skizzieren. Damit ist dieser Punkt auch erledigt. Was fällt Dir beim dritten Teil der Aufgabe ein? Viele Grüße Steffen |
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| 01.02.2014, 15:40 | Rosemarie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
I: Asymptotengleichung stimmt nicht (in der Angabe steht 0.5x-1; hier ist es aber x-1) II: ² im Nenner fehlt --> Polstelle soll ohne Vorzeichenwechsel sein, ist hier aber mit) III: siehe Bild-->P(3/2) eingesetzt, am Schluss nochmal der Term der Funktion |
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| 01.02.2014, 16:43 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na, perfekt! Hier ist g(x), von unserem Funktionenplotter gezeichnet: Damit ist alles erledigt. Guten Erfolg bei der Hausaufgabenpräsentation! Viele Grüße Steffen |
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| 01.02.2014, 16:46 | Rosemarie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für die Hilfe 
ansonsten hätte im gleich am Anfang aufgegeben |
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