Galoisgruppen bestimmen |
| 31.01.2014, 13:38 | PeterPan1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Galoisgruppen bestimmen Ich habe in 2 Tagen eine Algebra-Prüfung und noch keine Ahnung von der Galoistheorie! Brauche dringend Hilfe...und zwar möchte ich wenigstens folgende Aufgaben beantworten können. Sei K=Q und L=Q(sqrt(2)) die Erweiterung. Wie sieht hier die Galoisgruppe aus ? Ist diese Erweiterung nun zyklisch und wenn ja warum ? Zweite Aufgabe: Zerfällungskörper des Polynoms X^4+1, wie sieht die Galoisgruppe aus. Danke im Voraus Meine Ideen: Ich weiß nur das es die Gruppe der K-Automorphismen ist. Das Minimalpolynom ist X^2-2 und der Grad der Erweiterung damit 2. Ich hab bei der 2. Aufgabe überhaupt keine Ahnung bin total auf eure Hilfe angewiesen. Hoffe mir kann Jemand kurz klar machen wie man sowas angeht. Danke |
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| 31.01.2014, 14:33 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Galoisgruppen bestimmen
Und da die Erweiterung galoisch ist, hat auch die Galoisgruppe Ordnung 2. Und die Struktur einer Gruppe der Ordnung 2 sollte bekannt sein. Du kannst dir sonst ja auch gezielt anschauen, wie die gesuchten Automorphismen aussehen. Die permutieren ja im Grunde nur die adjungierten Nullstellen, alle Elemente aus Q lassen sie fix.
Du bestimmst erstmal den Zerfällungskörper L. Sind wir nach wie vor über Q? Dann betrachtest du die Körpererweiterung L/Q. Die Galoisgruppe des Polynoms ist ja gerade die Galoisgruppe dieser Körpererweiterung. Und dann geht es im Grunde so weiter wie in 1). Schau dir an, welche passenden Automorphismen es gibt. Du musst dich nur mit den Nullstellen befassen. Natürlich kannst du auch hier erstmal den Erweiterungsgrad bestimmen, um schon mal die Ordnung der Galoisgruppe zu ermitteln. |
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| 31.01.2014, 14:42 | PeterPan123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke dir. D.h. also die Galoisgruppe ist isomorph zu Z/2Z und diese Faktorgruppe zyklisch ist, ist auch die galoisgruppe zyklisch ? Die nullstellen sind ja nur Wurzel(2) und -Wurzel(2). Damit liegt in der Galoisgruppe 2 Automorphismen ( kann man auch Permuationen sagen ?) eine Permutation ist die identiät und die andere vertauscht nur wurzel 2 mit - wurzel 2 ? stimmt das so schon ? 
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| 31.01.2014, 14:43 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jep, das ist richtig. Und ja, die Elemente der Galoisgruppe sind Permutationen, sprich man kann sie so auffassen. Die Galoisgruppe operiert auf der Menge der adjungierten Nullstellen. |
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| 31.01.2014, 14:59 | PeterPan123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber Z/mZ ist ja immer zyklisch, und wenn ich m automorphismen habe in der Galoisgruppe ist die ordnung ja gleich der von Z/mZ...aber die Galoisgruppe kann doch nicht immer zyklisch sein ? |
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| 31.01.2014, 15:02 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Gruppe allgemein der Ordnung m kann zyklisch sein, muss aber nicht. Dass es immer eine zyklische Gruppe der Ordnung m gibt, ist korrekt, aber das heißt ja nicht, dass die Galoisgruppe der Ordnung m auch zu der zyklischen Gruppe der Ordnung m isomorph sein muss. Kann ja auch zu einer nichtzyklischen Gruppe der Ordnung m isomorph sein (wenn es eine gibt). Gleiche Ordnung bedeutet ja noch lange nicht Isomorphie. Bei Ordnung 2 konnte man das jetzt halt so einfach sagen, weil es eben gar keine nichtzyklische Gruppe der Ordnung 2 gibt. Aber das ist eben eine Ausnahme, die auf Primzahlen begrenzt ist. Wenn m nicht prim ist, funktioniert das nicht mehr. |
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| 31.01.2014, 15:09 | PeterPan123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau, dann kann ichs mir so merken, dass wenn die Ord. Der Galoisgruppe prim ist das sie dann ganz sicher zyklisch ist ?! und ansonsten kann ich ohne nachrechnen nichts darüber sagen ob eine Galoisgruppe zkylisch ist oder nicht. |
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| 31.01.2014, 15:15 | PeterPan123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Natürlich. Jede Gruppe deren Ordnung prim ist, ist zyklisch und einfach. Tausend Dank. Das hat grad wirklich Licht ins Dunkel gebracht...jetzt kann ich mir schon mehr darunter vorstellen
Mal sehen ob ich Zerfällungskörper auch noch durchschaue |
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| 31.01.2014, 15:22 | PeterPan123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt noch eine Frage bitte
Wann ist dann eine Galoisgruppe isomorph zu einer Einheitengruppe von Z/mZ ? Was hat es mit dieser isomorphie auf sich ? wie kommt die zustande ? |
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| 31.01.2014, 15:51 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das m-te Kreisteilungspolynom besitzt über Q immer eine zur Einheitengruppe von Z/mZ isomorphe Galoisgruppe.
Das kannst du dir wieder über die Nullstellen überlegen: Die Nullstellen des m-ten Kreisteilungspolynoms sind ja gerade die primitiven m-ten Einheitswurzeln. Also diejenigen Zahlen mit zu m teilerfremden k. Und die werden ja von den Automorphismen permutiert. Da ergibt sich die Analogie zur Einheitengruppe von Z/mZ, denn auch da liegen ja genau die Zahlen drin, die zu teilerfremd sind. Das sind ja gerade die Einheiten in Z/mZ. Du hast hier das achte Kreisteilungspolynom vorliegen. Wenn das alles bekannt ist, kannst du damit natürlich arbeiten (und solltest du auch) und die Aufgabe ruckzuck erschlagen. Der Weg "zu Fuß" darüber, sich die Körpererweiterung darzustellen und die Automorphismen zu suchen, kann man sich dann sparen (funktioniert aber natürlich auch und diesen Weg zu Fuß sollte man auch ruhig draufhaben, wenn einem sonst nichts einfällt). |
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| 31.01.2014, 16:13 | PeterPan123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Danke! 
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| 31.01.2014, 16:17 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wobei die Aufgabe ja auch beinhaltet, den Zerfällungskörper zu bestimmen. Das hat man dann natürlich noch nicht erledigt, wenn man einfach die Galoisgruppe hinschreibt. 
Aber das sollte ja auch nicht weiter schwierig sein. |
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| 31.01.2014, 17:07 | PeterPan123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Könntest du mir noch sagen wie die K-Automorphismen von Q(vierteWurzel(2))/Q konkret aussehen ? |
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| 31.01.2014, 17:18 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich würde sagen, da sollten erstmal Vorschläge von dir kommen. |
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| 31.01.2014, 17:36 | PeterPan123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
X^4-1 ist das minimalpolynom. Die vierte Wurzel aus 2 ist natürlich eine Nullstelle und zeta * die 4-te Wurzel aus 2 ...wobei zeta je eine der 4-ten Einheitswurzeln ist ?! dann sind die K-Auto. wieder die Identität und die folgenden 3 K-Autom.: sigma_1: vierteWurzel(2) --> zeta_1* vierte Wurzel(2) sigma_2: vierteWurzel(2) --> zeta_2* vierte Wurzel(2) sigma_3: vierteWurzel(2) --> zeta_3* vierte Wurzel(2) also 3 solche sigmas die jeweils auf die erste, zweite oder dritte Einheitswurzel abbilden * vierteWurzel(2) abbilden. Die Galoisgruppe ist dann {id,sigma_1,sigma_2,sigma_3} bin mir aber sehr unsicher ob das so alles passt ?! |
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| 31.01.2014, 17:55 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ist nicht das Minimalpolynom, sondern . Und du musst natürlich nur die Nullstellen betrachten, die überhaupt in liegen. Die komplexen Nullstellen des Minimalpolynoms spielen hier also überhaupt keine Rolle. Genau genommen brauchst du das Minimalpolynom auch gar nicht, um die Automorphismen zu finden. Schau dir einfach die hinzuadjungierten Elemente an. |
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| 31.01.2014, 18:18 | PeterPan123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja natürlich x^4 -2, hab mich vertan. Stimmt hab nicht dran gedacht das die Nullstellen in Q(4-te Wurzel(2) liegen müssen ^^ dann sind ja komplexe Nullstellen ausgeschlossen. Naja wenn ich jetzt x^4-2 in linearfaktoren zerlege und die komplexen keine Nullstellen sein dürfen dann bleibt nur noch Wurzel(2) und -Wurzel(2). dann ist die Galoisgruppe {id, sigma_1}, wobei sigma_1 : Wurzel(2)---> -Wurzel(-2) ?? und somit wäre sie auch wieder zkylisch da 2-elementig |
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| 31.01.2014, 18:25 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jeweils vierte Wurzel aus 2 (nicht -2). Die Automorphismengruppe ist wieder die zyklische von Ordnung 2, ja. |
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| 31.01.2014, 18:36 | PeterPan123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry, meinte auch Galoisgruppe {id, sigma_1}, wobei sigma_1 : dievierteWurzel(2)---> - dievierteWurzel(2) so ist jetzt aber richtig mit dem minus ? angenommen ich hätte eine weitere Nullstelle beta ( auch wenn ich sie hier nicht habe) dann wäre sigma_2: dievierteWurzel(2)---> beta der 2. Autom. ? |
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| 31.01.2014, 18:50 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Höchstwahrscheinlich nicht (kommt drauf an, was beta ist). Du musst immer bedenken, dass dir die Automorphismeneigenschaften nicht verloren gehen dürfen. Mal ein anderes Beispiel: Wir betrachten die Erweiterung Sieht ja sehr ähnlich aus wie das letzte Beispiel. Und jetzt könnte man ja annehmen, dass die Automorphismengruppe wieder die zyklische aus zwei Elementen ist: Einmal die Identität und einmal die Abbildung , die auf abbildet . Das ist aber kein Automorphismus mehr! Denn da ja eingeschränkt auf die Identität ist, muss auch gelten . Wäre nun aber , dann wäre auch Und das steht im Widerspruch zu , also kein Automorphismus. Hier ist die Automorphismengruppe also einelementig, da liegt nur drin. Und genau sowas kann dir eben auch mit deinem passieren, wenn nicht ist. Da muss man beim Permutieren der Nullstellen also höllisch aufpassen. Die Beispiele von dir haben dahingehend keine Probleme gemacht, da ging alles auf. Das muss aber nicht immer so sein, wie dieses Beispiel hier ja zeigt. |
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| 31.01.2014, 19:18 | PeterPan123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Verstehe kann man dann nicht einfach auch sagen das X^3-2 nur eine nullstelle hat und somit ist Galoisgruppe nur id...gleiches muss doch auch für x^5-2 gelten ? |
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| 31.01.2014, 19:55 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Öhm ... mag wohl sein, dass du etwas richtiges meinst. Wenn a algebraisch über K ist und das Minimalpolynom von a in K(a) nur eine einzige Nullstelle hat, dann ist die Galoisgruppe trivial, ja.
Jep. |
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| 31.01.2014, 20:04 | PeterPan123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Super danke dir...das hat heute echt geholfen
Also mit der n-ten Wurzel aus 2 kann ichs jetzt...hoffe das dieses einfache beispiel dran kommt
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| 02.02.2014, 04:11 | PeterPan123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lege grad ne Nachtschicht ein und bin eben beim Hauptsatz der Galoistheorie und es heißt hier [L : K]= |G(L/K)|. Du hast mir ja erklärt das nur 2 Nullstellen hat in L und somit nur die Autom. {id,sigma} mit simga: . Also die Ord. der Galoisgruppe ist 2 aber der Grad ist ja nach dem MiPo 4. Hier heißt es aber [L : K]= |G(L/K)|. Wo ist der Denkfehler diesmal ? ^^ und was ist ein Galoiskörper? wäre nett wenn du mir nochmal helfen könntest |
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| 02.02.2014, 09:46 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo peter-pan,, ich bin auch algebra- und galoistheoriefan und kann dir auch gern weiterhelfen. Zu deiner letzten frage, man nennt jeden endlichen körper (also körper mit endlich vielen elementen) galoiskörper, und jeder endlcihe körper kann nur p^n elemente haben und ist bis auf isomorphie eindeutig bestimmt. Und zu der anderen frage: der grad der erweiterung muss nicht mit der ordnung der galoisgruppe übereinstimmen, wir hatten ja das beispiel Q(3.wurzel aus 2)/Q. Diese erweiterung hat den grad 3, aber die galoisgruppe besteht nur aus id, hat also die ordnung 1. gruss ollie3 |
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| 02.02.2014, 10:45 | PeterPan123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ein eindlicher Körper immer p^n als Ordnung hat is interessant, aber jetzt is noch nicht klar warum im Hauptsatz zur Galoistheorie steht, [L : K]= |G(L/K)|. Das die Galoisgruppe nur die id enthält bei 3teWurzel(2) hab ich ja auch verstanden. Aber wie bringe ich das mit [L : K]= |G(L/K)| ins reine. Hier der Link zum Skript. Auf Seite 11: http://www.mathematik.uni-ulm.de/matheII...aII/alg2skr.pdf Ist die Erweiterung den nicht galoisch ? und wenn nicht warum ? |
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| 02.02.2014, 11:09 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo, ja, genau das ist der springende punkt, die erweiterung Q(3.wurzel aus 2)/Q ist nicht galoisch, weil die übrigen nullstellen von dem minimalpolynom x^3-2=0 nicht in dieser erweiterung liegen. gruss ollie3 |
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| 02.02.2014, 11:25 | PeterPan123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok. Danke und schönen Sonntag noch 
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