Bestimmung einer Konstanten c

31.01.2014, 13:54

Shizophren

Bestimmung einer Konstanten c

Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich am Schluss nicht klar komme, bzw. das Ergebnis nicht ganz nachvollziehen kann. Bin um jede Hilfe dankbar.

Es ist die Konstante c zu bestimmen. $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist dabei ein fester Paremeter.

$\begin{eqnarray*} f(t) = c*e^{-\lambda t} \end{eqnarray*}$

Mir ist klar, dass ich jetzt die Stammfunktion bilden muss, Grenzen einsetzen und dann die gleichung nach c auflösen soll.

$\begin{eqnarray*} \int_{0 }^{\infty } \! c*e^{-\lambda t} \, dt = \frac{c*ex^{-\lambda t} }{-\lambda} = \frac{c}{\lambda} \end{eqnarray*}$

(Ich weiß dort fehlen die Grenzen, ich weiß aber nicht, wie das mit dem Formeleditor geht)

Im Ergebnis steht jetzt

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{\lambda} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=\lambda \end{eqnarray*}$ ergibt sich durch die Normierungsbedingung

Was heißt das genau? Ich finde in meinen Unterlagen nirgendwo, was diese Normierungsbedingung sein soll?!

Gruß

31.01.2014, 14:05

Kasen75

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RE: Bestimmung einer Konstanten c

Zitat:

Original von Shizophren

Mir ist klar, dass ich jetzt die Stammfunktion bilden muss, Grenzen einsetzen und dann die gleichung nach c auflösen soll.

$\begin{eqnarray*} \int_{0 }^{\infty } \! c*e^{-\lambda t} \, dt = \frac{c*ex^{-\lambda t} }{-\lambda} = \frac{c}{\lambda} \end{eqnarray*}$

(Ich weiß dort fehlen die Grenzen, ich weiß aber nicht, wie das mit dem Formeleditor geht)

Hallo,

steht hier nicht eher

$\begin{eqnarray*} \int_{0 }^{\infty } \! c*e^{-\lambda t} \, dt =\left[ \frac{c*ex^{-\lambda t} }{- \lambda} \right] _0^{\infty}= 1 \end{eqnarray*}$ da ?

Grüße.

31.01.2014, 14:08

Shizophren

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Habe dazu noch was ausgearbeitet:

Ist es deswegen so?

Grenzen -unendlich und 0 einsetzen:

$\begin{eqnarray*} -\infty - \frac{c*e^{0} }{-\lambda} = -\infty - \frac{c*1}{-\lambda} = -\infty - (-\frac{c}{\lambda} ) = \frac{c}{\lambda} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt nach C auflöse, erhalte ich c= $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

Korrekt so?

31.01.2014, 14:15

Kasen75

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Du hast vollkommen recht. Wenn man $\begin{eqnarray*} \left[ \frac{c*ex^{-\lambda t} }{- \lambda} \right] _0^{\infty} \end{eqnarray*}$ ausrechnet, kommt $\begin{eqnarray*} \frac{c}{\lambda} \end{eqnarray*}$ heraus. Dieser Ausdruck wird dann gleich 1 gesetzt.

31.01.2014, 14:18

Shizophren

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Ok das ist gut :-)

Und das $\begin{eqnarray*} -\frac{c}{\lambda} \end{eqnarray*}$ wird positiv wegen $\begin{eqnarray*} -\infty - -\frac{c}{\lambda} \end{eqnarray*}$ richtig?

Vielen Dank :-)

Immer wieder schön, wenn es Menschen gibt, die einem helfen und auch mal über Lösungen schauen!

31.01.2014, 14:33

Kasen75

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Mir ist gerade ein Fehler bei deiner Rechnung aufgefallen, bei der Rechnung mit $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \frac{c*e^{-\lambda t} }{-\lambda}=0 \end{eqnarray*}$ . Wenn t gegen Unendlich geht, dann geht $\begin{eqnarray*} e^{-\lambda t} \end{eqnarray*}$ gegen 0.

Deswegen ist die Rechnung: $\begin{eqnarray*} 0- \left( -\frac{c}{\lambda} \right)=\frac{c}{\lambda} \end{eqnarray*}$

Das x das du noch in der Formel hattest gehört da nicht hin:

Zitat:

Zitat von Shizophren
$\begin{eqnarray*} \int_{0 }^{\infty } \! c*e^{-\lambda t} \, dt = \frac{c*e\textcolor{red}{x}^{-\lambda t} }{-\lambda} = \frac{c}{\lambda} \end{eqnarray*}$

31.01.2014, 14:35

Shizophren

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Oh, natürlich. Das x ist wieder mal vom Formeleditor zurückgeblieben :-)

Ok, das mit dem Lim habe ich verstanden! Habe ich so notiert und werde es so anwenden! Danke dir nochmal für deine Mühe!

31.01.2014, 14:40

Kasen75

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Zitat:

Original von Shizophren
Oh, natürlich. Das x ist wieder mal vom Formeleditor zurückgeblieben :-)

Ich musste eben selber meinen Beitrag dreimal editieren. geschockt

Zitat:

Original von Shizophren
Ok, das mit dem Lim habe ich verstanden! Habe ich so notiert und werde es so anwenden! Danke dir nochmal für deine Mühe!

Gerne. Freut mich, dass alles klar ist. Du warst ja schon auf dem richtigen Weg. smile

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