Topologie: Anzahl Randkomponenten bestimmen bei Flächen mit Rand im R^3

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Duude Auf diesen Beitrag antworten »
Topologie: Anzahl Randkomponenten bestimmen bei Flächen mit Rand im R^3
Hallo zusammen,
ich habe eine Fläche A im gegeben und möchte die Anzahl der Randkomponenten bestimmen sowie die Orientierbarkeit. Die Fläche sieht wie folgt aus:

[attach]33005[/attach]

Nun ist die Fläche nicht orientierbar, denn wenn ich mich in irgendeinen Punkt auf die Fläche setze, welche keine Kante ist, schaffe ich es einen Weg zu finden, der mich zu jedem anderen Punkt führt, indem ich "außen herumlaufe".

Um die Anzahl der Randkomponenten zu bestimmen, stelle ich fest, dass es zwei geschlossene Wege auf den Kanten gibt (rot und gelb eingezeichnet), welche sich nicht überschneiden. Dabei darf jedes Kantenstück höchstens einmal überfahren werden, darf aber auch nullmal überfahren werden. Also gibt es zwei Randkomponenten.

Jetzt meine Frage: Habe ich das richtig ausgeführt? Besonders bei den Randkomponenten bin ich mir unsicher. Und Ich finde die Antwort etwas unformal und evt. ungenau. Gibt es eine Möglichkeit, diese genauer zu machen?

lg duude
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologie: Anzahl Randkomponenten bestimmen bei Flächen mit Rand im R^3
Zitat:
Nun ist die Fläche nicht orientierbar, denn wenn ich mich in irgendeinen Punkt auf die Fläche setze, welche keine Kante ist, schaffe ich es einen Weg zu finden, der mich zu jedem anderen Punkt führt, indem ich "außen herumlaufe".

Das klingt, als würdest du zeigen, dass die Fläche zusammenhängend ist.

Die "gelbe Komponente" des Randes ist übrigens falsch eingezeichnet.
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das klingt, als würdest du zeigen, dass die Fläche zusammenhängend ist.

Ja, das habe ich nicht so gut formuliert. Ich meine damit folgendes:
Wäre die Fläche orientierbar, würde es ein außen und innen geben. Dies ist hier nicht der Fall. Denn wenn ich mich in einen Punkt setze (z.B. rechts "außen" auf der Fläche) und dort einen Vektor einzeichne, der nach rechts zeigt, dann kann ich mit diesem so durch die Fläche laufen, dass ich am Ende an demselben Punkt herauskomme, der Pfeil aber nach links zeigt. Also ist die Fläche nicht orientierbar.

Zitat:
Die "gelbe Komponente" des Randes ist übrigens falsch eingezeichnet.

Ja? Ich sehe noch nicht warum.. Ich könnte sie natürlich anders einzeichnen, z.B. statt dem Strich hinten rechts noch eine Schleife laufen, ohne dass ich der roten Komponente im Weg bin, aber dann habe ich ja z.B. das Stück hinten rechts dafür weggelassen. Außerdem ist das Stück vorne links auch nicht abgedeckt.. Also hätte ich ja dieselbe Situation.

Klär mich gerne auf, vllt habe ich was falsch verstanden. Ich hatte Randkomponente bisher so verstanden wie ich es oben geschrieben habe:
Zitat:
Um die Anzahl der Randkomponenten zu bestimmen, stelle ich fest, dass es zwei geschlossene Wege auf den Kanten gibt (rot und gelb eingezeichnet), welche sich nicht überschneiden. Dabei darf jedes Kantenstück höchstens einmal überfahren werden, darf aber auch nullmal überfahren werden
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Stück des Randes muss natürlich in irgendeiner (Zusammenhangs-)komponente des Randes enthalten sein. Die vertikale Kante oben rechts gehört jedoch gar nicht zum Rand.
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja, natürlich. Jetzt seh ich es auch. Natürlich gehören alle vier Kanten (rechts, links hinten sowie rechts links vorne) nicht zum Rand. Jetzt macht auch die Sache mit den Randkomponenten mehr Sinn, danke.


Ich habe noch eine Frage zu der Fläche, und zwar habe ich die Eulercharakteristik der Fläche ausgerechnet und sie dazu trianguliert. Dabei bereiten mir die Flächen rechts und links noch Schwierigkeiten. Ich habe mal die rechts rausgegriffen und sie so trianguliert wie ich das für richtig halte. (am Ende muss die Fläche in Dreiecke aufgeteilt sein, es darf durch die Aufteilung in Dreiecke keine neue Ecke dazukommen.)
Die linke Fläche habe ich analog aufgeteilt und alle anderen Flächen durch die Diagonale in zwei Dreiecke unterteilt.

hier mal die Fläche rechts rausgegriffen und trianguliert:
[attach]33032[/attach]

Für die Eulercharakteristik erhalte ich (also Anzahl der Ecken - Anzahl der Kanten + Anzahl der Dreiecke).
Anscheinend sollte als Eulercharakteristik aber -2 herauskommen.. Ich nehmen an, dass es an den Flächen rechts und links liegt, weil bei allen anderen ja nur die Diagonale dazukommt.

(Ich kann auch einen neuen Thread dazu aufmachen, da die Frage nicht mehr ganz zum Titel passt aber dachte, da es dieselbe Fläche ist, schreib ich das gleich hier noch mit rein..)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Die Triangulierung ist gut gewählt, du hast dich allerdings bei den Kanten verzählt.
 
 
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, jetzt hab ichs raus. Es gibt 38 Kanten. Ich hatte in dem letzten Bild die obere Kante als eine gezählt, dabei muss ich diese als drei Kanten zählen, weil sie durch die Dreiecke in drei Kanten geteilt wird. Also kommen so insgesamt noch 8 Kanten dazu. Und ich erhalte insgesamt Eulercharakteristik -2.

Vielen Dank für die Hilfe smile
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