Grenzwertbetrachtung log hoch 100/ wurzel n

31.01.2014, 16:43

eisverticker

Grenzwertbetrachtung log hoch 100/ wurzel n

Ich hatte mir gerade eine Klausur angeguckt und da sollte Untersucht werden ob $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} O(log^{100} n) \end{eqnarray*}$ liegt und andersrum.
Durch Wolfram-Alpha hab ich jetzt auch gesehen, das die Wurzel schneller ab einem bestimmten n wächst und klar ist auch, dass der Logarithmus mit größeren n deutlich langsamer wächst als die Wurzel, aber wie kann ich das Mathematisch exakter begründen, dass die Potenz beim Logarithmus irgendwann keine Rolle mehr spielt?
Grüße

31.01.2014, 18:56

HAL 9000

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Beweise einfach $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n)}{n^{\alpha}} = 0 \end{eqnarray*}$ für beliebige positive Exponenten $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , z.B. mit L'Hospital.

Dann folgt daraus $\begin{eqnarray*} (\ln(n))^k \in o\left( n^{k\alpha} \right) \end{eqnarray*}$ , was etwa bei Wahl von $\begin{eqnarray*} k=100 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{1}{200} \end{eqnarray*}$ deiner "andersrum"-Aussage entspricht. Augenzwinkern

01.02.2014, 19:03

eisverticker

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Zitat:

Original von HAL 9000
Beweise einfach $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n)}{n^{\alpha}} = 0 \end{eqnarray*}$ für beliebige positive Exponenten $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , z.B. mit L'Hospital.

Dann folgt daraus $\begin{eqnarray*} (\ln(n))^k \in o\left( n^{k\alpha} \right) \end{eqnarray*}$ , was etwa bei Wahl von $\begin{eqnarray*} k=100 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{1}{200} \end{eqnarray*}$ deiner "andersrum"-Aussage entspricht. Augenzwinkern

Ok danke dir

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