Primärzerlegung

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31.01.2014, 16:45	MatheMama01	Auf diesen Beitrag antworten »
Primärzerlegung Hallo, ich suche eine minimale primärzerlung von $\begin{eqnarray} I=(xy,xz,yz) \subset \mathbb{C}[x,y,z] \end{eqnarray}$ . Irgendwie ist mir das mit den Idealen in Polynomringen noch nicht so richtg klar. Ich würde sagen dass eines der primären Ideale $\begin{eqnarray} (x,y,z)^2 \end{eqnarray}$ sein muss. Das ist doch als Potenz eines Maximalideals auf jeden fall primär. Aber womit muss ich das jetzt schneiden, damit ich I erhalte??
31.01.2014, 17:25	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Da I ein radikales Ideal ist, gibt es eine minimale Primärzerlegung, die nur aus Primidealen besteht. Dein Ansatz bringt dich also nicht wirklich weiter. Eigentlich sollte man durch kurzes Überlegen schnell auf die Idee kommen, wie die Primideale wohl aussehen müssen.
31.01.2014, 19:56	MatheMama01	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für die schnelle antwort hmm... ich bin mir bei der ganzen Sache total unsicher. Kann ich denn sowas machen wie $\begin{eqnarray} (x,y) \cap (y,z) \end{eqnarray}$ ?
31.01.2014, 20:05	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast. Das Ideal ist ja offensichtlich symmetrisch in x,y,z. Also sollte da wohl noch ein drittes Primideal dazukommen bei der Zerlegung...
31.01.2014, 20:41	MatheMama01	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst also $\begin{eqnarray} I=(x,y) \cap (x,z) \cap (y,z) \end{eqnarray}$ ? Um ehrlich zu sein verstehe ich nicht warum das so ist
31.01.2014, 20:49	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibt es nicht viel zu verstehen. Du solltest es lieber zeigen. Geometrisch kann man es sich aber leicht vorstellen: Offenbar stellt zu I gehörige Varietät die Vereinigung der 3 Koordinatenachsen dar. Und die 3 Koordiatenachsen sind eben genau durch diese 3 Ideale gegegeben.
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31.01.2014, 21:36	MatheMama01	Auf diesen Beitrag antworten »
der geometrische Ansatz hilft mir leider nicht weiter Stimmt es denn, das $\begin{eqnarray} r(x,y)=\{p\in \mathbb{C}[x,y,z]\|p^s\in(x,y)\}=(x,y) \end{eqnarray}$ und deswegen $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ primär. Dann beiblt noch zu zeigen, dass es sich um eine minimale zerlegung handelt. Es gilt also $\begin{eqnarray} r(x,y)\not= r(x,z) \not= r(y,z) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x,y) \not\supseteq (x,z)\cap (y,z) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (x,z) \not\supseteq (y,z)\cap (x,y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (y,z) \not\supseteq (x,z)\cap (x,y) \end{eqnarray}$
31.01.2014, 22:11	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
(x,y) ist prim, da muss man sich keine Gedanken mehr darum machen, ob es primär ist.
31.01.2014, 22:24	MatheMama01	Auf diesen Beitrag antworten »
ok aber zumindest ist das anscheinend nicht falsch. theoretisch sind doch auch alle drei isolated oder?
31.01.2014, 22:32	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, offensichtlich. Die haben ja alle die selbe Höhe.
02.02.2014, 20:51	MatheMama01	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal. Obwohl mir leider immer noch nicht so ganz klar ist, wie du darauf gekommen bist... nur mal so verständishalber : Wenn ich jetzt eine minimale primarzerlegung von $\begin{eqnarray} J=(xy,xz,yz)^2 \end{eqnarray}$ suchen würde. Wäre dann $\begin{eqnarray} J=(x,y)^2\cap (x,z)^2 \cap (y,z)^2 \end{eqnarray}$ ein guter Ansatz? oder lieg ich jetzt doch wieder total daneben? In der selben Aufgabe wird noch nach der Dimension von $\begin{eqnarray} \mathbb{C}[x,y,z]/(xy,xz,yz) \end{eqnarray}$ gefragt. Wie hängt denn das nun schon wieder zusammen?
03.02.2014, 10:28	MatheMama01	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe überlegt,ob ich wegen der Primärzerlegung sagen kann dass $\begin{eqnarray} dim(\mathbb{C}[x,y,z]/(xy,xz,yz))=max\{dim(\mathbb{C}[x,y,z]/(x,y)),dim(\mathbb{C}[x,y,z]/(x,z)),dim(\mathbb{C}[x,y,z]/(y,z)\}) \end{eqnarray}$ und deswegen $\begin{eqnarray} dim(\mathbb{C}[x,y,z]/(xy,xz,yz)=dim(\mathbb{C}[x])=1 \end{eqnarray}$

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