homogenes LGS mit Parameter a

31.01.2014, 16:49

vesperbrot

homogenes LGS mit Parameter a

Guten Abend,

ich habe eine Altklausur zur Vorbereitung auf die vorstehende Mathe Klausur am Dienstag. Jedoch komme ich bei dieser nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2x_1 & ax_2 & x_3 \\ -2x_1 & (4-2a)x_2 & (a-5)x_3 \\ 4x_1 & (3a-4)x_2 & 2x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für welches $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen? Bestimmen sie diese.

Man erkennt zwar durch die erste Zeile, dass a=-3 zur 0 führt und dies auch bei der zweiten Zeile der Fall ist, jedoch bei der dritten nicht mehr, zudem ist dies ja auch nur eine von unendlich...

Mein erster Ansatz war das ganze per Gaussverfahren auf Stufenform zu bringen, jedoch endet das bei folgendem Schritt und ich weiß nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 4 & a-3 \\ 0 & -a-4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich stehe auf dem Schlauch. unglücklich

31.01.2014, 16:59

Kasen75

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Hallo,

was hast du denn gerechnet ?

Mein Vorschlag:

2. Zeile: I+II
3. Zeile: III+2*1

Die erste Zeile stimmt nicht. Wenn du, bei der umgeformten Matrix, in $\begin{eqnarray*} a_{11} \end{eqnarray*}$ eine 1 stehen hast, dann musst du die ganze erste Zeile durch 2 teilen.

Grüße.

31.01.2014, 17:12

vesperbrot

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Habe mich tatsächlich verschrieben. Gut ich habe nun folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & a & 1 \\ -2 & 4-2a & a-5 \\ 4 & 3a-4 & 2 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Hier habe ich die 2. Zeile + 1. Zeile und die 3. Zeile - 2*1. Zeile:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & a & 1 \\ 0 & 4-a & a-4 \\ 0 & a-4 & 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Nun habe ich die 2. Zeile mit der dritten vertauscht und dann die 3.Zeile + die 2.Zeile:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & a & 1 \\ 0 & a-4 & 0 \\ 0 & 0 & a-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

31.01.2014, 17:18

Kasen75

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Der letzte Schritt wäre, aus meiner Sicht, nicht nötig gewesen. Jedenfalls sieht es bei mir genauso aus (2. Matrix).

Was ist jetzt die Antwort auf die Frage der Aufgabenstellung ?

31.01.2014, 17:25

vesperbrot

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Nun ich kann mir unter der Fragestellung nicht viel vorstellen. Die 2 bzw. 3. Matrix sagt aus, dass a=4 sein muss um 0=0 zu haben. Jedoch passt das in der ersten Zeile doch dann nicht? Wenn ich aber die Determinante mit a=4 ausrechne, kommt det=0 raus, sprich es passt doch eigentlich?

Jedoch wie schreibe ich das nun auf ? :/

31.01.2014, 17:38

Kasen75

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Zitat:

Original von vesperbrot
Jedoch passt das in der ersten Zeile doch dann nicht?

Wieso nicht. Die Gleichung kann auf jeden Fall erfüllt sein. Du hast ja noch die Variablen $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von vesperbrot
Jedoch wie schreibe ich das nun auf ? :/

Du hast doch es eigentlich schon gesagt:

Da bei $\begin{eqnarray*} a=4 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} det \ A=0 \end{eqnarray*}$ , hat das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} Ax=0 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} a=4 \end{eqnarray*}$ unendlich viele Lösungen.

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