Vektorraum der Potenzreihen

31.01.2014, 23:58

xemle75ml

Vektorraum der Potenzreihen

Meine Frage:
Hi, ich hab folgende Frage und hab so irgendwie grad gar keine Ahnung was ich machen soll:

Begründen Sie: Ist die Menge der Potenzreihen mit Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R=1 \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum?

Falls nein, wie könnte man die Menge manipulieren/erweitern, damit sie zu einem wird. Begründen Sie.

Meine Ideen:
Kann mir da vielleicht schnell jemande helfen?

Gruß, Xemle

01.02.2014, 09:39

xemle75ml

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RE: Vektorraum der Potenzreihen
Also ich weiß ja nicht ob ich wirklich total auf dem Schlauch stand, oder aber noch stehe, aber wäre die Lösung nicht einfach:

$\begin{eqnarray*} V= \end{eqnarray*}$ Menge der Potenzreihen mit Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R=1 \end{eqnarray*}$ ist kein $\begin{eqnarray*} \mathbb C-VR \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} (V,+) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe sein muss.

Nun gibt es in diesem $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ offensichtlich aber kein $\begin{eqnarray*} 0-Element \end{eqnarray*}$ . Dieses wäre nämlich die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ (alle $\begin{eqnarray*} a_{k} = 0 \end{eqnarray*}$ ), diese hat aber $\begin{eqnarray*} KR=\infty \end{eqnarray*}$ .

Also erweitere zu $\begin{eqnarray*} V_{1} = \end{eqnarray*}$ Menge der Potenzreihen mit Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Ist das richtig so?

01.02.2014, 10:03

Nofeykx

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Das hört sich ganz gut an, wie sieht es mit dem zweiten Teil der Aufgabe aus?

Zitat:

wie könnte man die Menge manipulieren/erweitern, damit sie zu einem wird.

Hatte deinen Edit noch nicht gesehen, ja das passt so.

Auf Wunsch zwei Posts zusammengefügt. LG Iorek

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Vektorraum der Potenzreihen

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