Integral von f(x)=sin(x)*cos(x) -> Allgemeine Frage

01.02.2014, 12:53

dr.mave

Integral von f(x)=sin(x)*cos(x) -> Allgemeine Frage

Hallo zusammen,

ich soll die Funktion f(x)=sin(x)*cos(x) dx integrieren. Eigentlich recht einfach, ich benutze die Substitutionsmethode. Jedoch erhalte ich wenn ich u=sin(x) substituiere was anderes raus als u=cos(x). Ich weiß einfach nicht warum. hier meine Schritte

$\begin{eqnarray*} \int \! sin(x)*cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$

(1) Substitution von u=sin(x)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos(x)} du = dx \end{eqnarray*}$

(2) einsetzen in das Integral

$\begin{eqnarray*} \int \! u*cos(x) \, \frac{1}{cos(x)} du \end{eqnarray*}$

(3) Kürzen

$\begin{eqnarray*} \int \! u du \end{eqnarray*}$

(4) integrieren und zurücksubstituieren

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\sin(x)^2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das nun alles mit u=cos(x) mache erhalte ich ein ganz anderes Ergebnis.
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}*\cos(x)^2 \end{eqnarray*}$

Ich weiß einfach nicht warum. hat jemand ne Idee?

01.02.2014, 12:55

mYthos

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Dein "ganz anderes" Ergebnis ist in Wirklichkeit bis auf ein Konstante gleich dem vorigen. Wenn du noch ein wenig umformst, siehst du weshalb.
Diese Konstante geht nun in die Integrationskonstante ein, die du fahrlässig weggelassen hast.
_________________________

Übrigens, einfacher geht's mit

$\begin{eqnarray*} \sin x \cdot \cos x = \frac 1 2 \sin 2x \end{eqnarray*}$

mY+

01.02.2014, 13:05

dr.mave

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Ich weiß dass man das Integral auch anders ausdrücken kann so wie ihr es gemacht habt. Aber meine Frage ist leider noch nicht beantwortet.

Warum kommt bei mir was unterschiedliches raus? wo ist der Fehler?

01.02.2014, 13:11

mYthos

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Bitte lies den Vorpost noch einmal genau durch ...
Die beiden Resultate unterscheiden sich nur durch eine Konstante.

EDIT:
Ähhm, da war noch ein Beitrag von Mulder, diesen hat er wohl wieder entfernt.
Er hat aber darin genau dasselbe ausgesprochen!
Denke an die Intergrationskonstante!

mY+

01.02.2014, 13:33

dr.mave

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hilft mir leider jetzt auch nicht weiter...keine Idee woran es liegen könnte?

01.02.2014, 13:43

Gast11022013

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mythos hat es doch schon gesagt.

Zitat:

Dein "ganz anderes" Ergebnis ist in Wirklichkeit bis auf ein Konstante gleich dem vorigen.

Nimm doch einfach deine beiden Lösungen und leite sie einmal ab. Dann siehst du es.

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