Markovketten

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Ripper1986 Auf diesen Beitrag antworten »
Markovketten
Hallo zusammen,

ich arbeite gerade an einer Aufgabe und habe keinen wirklichen Ansatz um diese zu lösen. Eventuell kann mir ja jemand von euch ein wenig helfen. Zunächst ein kurzer Umriss der Aufgabe:

2 Maschinen (M1 und M2) die mit einer exponentialverteilt mit einer Bearbeitungsrate von 10Stück/Stunde arbeiten
Die Maschinen können EXP-verteilt ausfallen, jedoch nur wenn auch gearbeitet wird. Der EW der ausfallzeit ist bei M1 1 Stunde und bei M2 1.5 Stunden.
Die Reparatur der Maschinen ist exponentialverteilt und hat einen EW von 0.2 Stunden.

Wenn M1 ein Werkstück fertig hat, M2 jedoch noch arbeitet, so kann M1 nicht weiterarbeiten und muss warten bis sie das Werkstück an M2 weitergeben kann um mit einem neuen zu beginnen. Sie ist somit blockiert.



Um die Produktionsrate zu bestimmen, würde ich nun gerne eine Markovkette erstellen mit einem Übergangsdiagramm und den jeweiligen Raten.


Was ich bisher habe:
es gibt in meinen Augen 8 Zustände (M1, M2):
(arbeitet, leer)
(arbeitet,arbeitet)
(blockiert, arbeitet)
(reparieren,leer)
(repariert,repariert)
(repariert,arbeitet)
(arbeitet,repariert)
(blockiert,repariert)

Den Graphen kann ich auch noch zeichnen. Das erste Problem ist jetzt jedoch die Bestimmung der Raten die an den Pfeilen steht müssen, da stehe ich total auf dem Schlauch.

Ich bin über jede Hilfe sehr dankbar :-)

Viele Grüße
marvin
Ripper1986 Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm.... hat keiner eine Idee? :-(
Ripper1986 Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin jetzt ein bisschen weiter gekommen mit der Aufgabe. Es handelt sich um einen kontinuierlichen Markov-Prozess und ein Zukünftiges Ereignis hängt nur von dem aktuellen Zustand, nicht von einem vorherigen Zustand ab. Ich denke man sollte die Chapman-Kolmogorov Gleichungen nutzen, da verstehe ich allerdings nicht so ganz wie...
Ripper1986 Auf diesen Beitrag antworten »

nur für den Fall, dass sich jemand diesen Post nochmal ansehen sollte, fasse ich kurz zusammen wie ich auf die Lösung gekommen bin.

Ich habe zunächst aus den angegebenen Daten eine "Übergangsratenmatrix" erstellt. Ich habe als Zeiteinheit eine Stunde gewählt und sie Matrix gibt an, wie häufig der Übergang von zustand i nach j im Mittel passiert.
Wenn man nun die Zeilensumme bildet, diese auf die Hauptdiagonale schreibt erhält man die Intensitätsmatrix . Nun nutzt man das Gleichungssystem, welches aus dem Kolmogorov'schen Differentialgleichungssystem hervorgeht. Kurz bedeutet dies:



nun benötigt man noch die Nebenbedingung, dass die Summe über gleich Null ist und man hat die steady states berechnet. Jetzt kann man berechnen wie viel Prozent man in welchem Zustand ist und somit kann man die Produktionsrate berechnen.

VG
M
Sauerlandgirl Auf diesen Beitrag antworten »
Genaue Lösung
Hallo Ripper,

kannst du mir die Übergangsmatrix hier einmal aufschreiben und wie man die einzelnen Elemente berechnet?
Ich benötige die Aufgabe für die Uni und bekomme sie nicht gelöst.

Viele Grüße
Sauerlandgirl.
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