Aussage über Determinante beweisen

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Aussage über Determinante beweisen
Guten Tag, in meinen Semesterferien versuche ich mich zurzeit an folgender Aufgabe:

Sei K ein Körper, . Man betrachte die Matrix A Mat(n;K) mit Streichungsmatrizen und die Eins-Matrix I Mat(n;K) gegeben durch = 1 für i,k {1,...,n}. Beweisen Sie:

det(A+I) = det(A) + * det()

Was ich bereits probiert habe:

Zeilen-/Spaltenentwicklungssatz, Anwendung der Summenschreibweise mit Permutationen für den Determinanten, Induktion über n, etc. Leider hat nichts von alledem Richtung Ziel geführt. Wie ist denn hier der Ansatz (welcher Weg führt zum Ziel)?
Vielen Dank im Vorraus für jegliche Hilfeleistung/Tipps smile
DeEiserne Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, jetzt merke ich gerade, dass ich hier ja in der Analysis bin (und eigentlich zur Linearen Algebra wollte...). Wie lösche ich denn meinen Beitrag?

Edit (mY+): Nicht nötig, der Thread wird entsprechend verschoben.
DeEiserne Auf diesen Beitrag antworten »

Hat jemand eine Idee?
DeEiserne Auf diesen Beitrag antworten »

Nach langem Überlegen ist mir die Lösung eingefallen (falls jemals jemand an der Aufgabe interessiert sein sollte):

Seien , i,k {1,...,n} die Koeffizienten der Matrix A.

Man schreibt
det(A+I) = sgn(sigma)*(+)*...*(+)

und multipliziert alle Terme aus, woraufhin man Summen über alle Permutationen "sigma in Sn" erhält:

= sgn(sigma)***...* + sgn(sigma)***...* + sgn(sigma)***...* + ... + sgn(sigma)***...* + alle Summen, bei denen MINDESTENS 2 * auftaucht. Diese Terme sind alle 0, weil (zum Beispiel):

sgn(sigma)****...* = det = 0

Ausserdem gilt für Summanden mit genau einem :

sgn(sigma)***...* = det =: *

Anschliessend wenden wir jeweils den Zeilenenticklungssatz auf die Zeile mit dem an:

* = det ()

Weil hier in der 1. Zeile ist, ist i=1.

Insgesamt haben wir also:

det(A+I) = sgn(sigma)***...* + sgn(sigma)***...* + sgn(sigma)***...* + ... + sgn(sigma)***...*

= det(A) + det () + det () + ... + det ()

= det(A) + det()
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