Folgeglieder bestimmen

01.02.2014, 16:49

Kimyaci

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Folgeglieder bestimmen

Die ersten drei Folgeglieder der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} = q^n \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb R \wedge 0 < q < 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sollen angegeben werden.

Mein Problem ist nun; es gibt doch unendlich viele Zahlen in diesem Bereich (die reellen Zahlen sind ja überabzählbar), wie gebe ich da die ersten drei Folgeglieder an? Mir fällt auch kein Bildungsgesetz dazu ein..

01.02.2014, 17:09

Kasen75

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Hallo,

so wie ich das sehe, musst du für n die entsprechenden Werte für die Indizes einsetzen.

Grüße.

01.02.2014, 17:18

Kimyaci

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Meinst du so etwas;

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^3 \ q^n \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb R \wedge 0 < q < 1 \end{eqnarray*}$ ?

01.02.2014, 17:26

Kasen75

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RE: Folgeglieder bestimmen
$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} = q^n \end{eqnarray*}$ ist eine Folge. Es wird hier nicht aufsummiert.

Einfach für n die entsprechenden Werte einsetzen.
Ob die Null bei eurer Definition in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ enthalten ist kann ich nicht sagen. Du gehst anscheinend davon aus, dass sie bei eurer Definition nicht dabei ist.

01.02.2014, 17:29

Kimyaci

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Ja das hatte mich ja lange Zeit verwirrt mit der 0, $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ sind bei mir nun die natürlichen Zahlen ohne Null, $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ entsprechend mit Null.

Also: $\begin{eqnarray*} a_1 = q^1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_2 = q^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_3 = q^3 \end{eqnarray*}$ . Wäre das nicht etwas zu einfach?

01.02.2014, 17:37

Kasen75

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Zitat:

Original von Kimyaci
Wäre das nicht etwas zu einfach?

Als alleinige Aufgabe irgendwie schon. Anders habe ich es nicht interpretieren können. Vielleicht gibt es noch eine Folgeaufgabe, die darauf aufbaut.

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01.02.2014, 18:48

Kimyaci

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Na ja war eine Teilaufgabe, aber gut zu wissen. Hab die Aufgabe wohl als etwas zu schwer eingestuft, gedanklich.

Danke dir. smile

smile

01.02.2014, 21:31

Kimyaci

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Oh.. hab gar nicht gemerkt, dass es da tatsächlich noch einen Teil gab, die Folge soll nämlich auf Monotonie und Beschränktheit untersucht werden.

Da $\begin{eqnarray*} 0 < q < 1 \end{eqnarray*}$ würde ich sagen, dass 0 die größte untere Schranke und 1 die kleinste obere Schranke ist, die Folge ist mithin beschränkt.

Bei der Monotonie bin ich mir gar nicht so sicher wie ich das zeigen soll. Ich würde jetzt annehmen, dass die Folge mindestens monoton steigend ist, aber wie begründe ich das sauber?

02.02.2014, 04:44

mama schlunz

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Probier doch spaßeshalber mal ein paar q€]0,1[ aus, dann dürfte dir was zur Monotonie auffallen.

02.02.2014, 05:00

Kasen75

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Zitat:

Original von Kimyaci
Ich würde jetzt annehmen, dass die Folge mindestens monoton steigend ist,

Eine gewagte These.
Bilde doch mal den Quotienten von $\begin{eqnarray*} a_ {n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .

02.02.2014, 19:17

Kimyaci

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$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{q^{2}}{q} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt beliebige Zahlen einsetze;

$\begin{eqnarray*} \frac{(\frac 1 4)^2}{\frac 1 4}= \frac 1 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(\frac 1 3)^2}{\frac 1 3}= \frac 3 9 = \frac 1 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(\frac 1 2)^2}{\frac 1 2}= \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ .

Hm.. wieso ist das denn nicht monoton steigend?

02.02.2014, 19:30

Kasen75

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Du hast jetzt nicht die Folge für ein bestimmtes q berechnet, sondern für verschiedene q den Quotienten zweier Folgeglieder ermittelt.
Diese Quotienten sind allesamt kleiner 1. Das bedeutet nun was ?

Ist $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ größer als $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ? Oder ist es genau umgekehrt ?

Und was bedeutet dies wiederum für die Monotonie ?

02.02.2014, 19:35

Kimyaci

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Dass alle kleiner 1 sind heißt ja dass die Funktion beschränkt ist bzw. sie konvergiert gegen 1?

Ach so, $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist kleiner als $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , daher ist die Funktion streng monoton fallend.

02.02.2014, 19:38

BigMom

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Zitat:

Original von Kimyaci

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{q^{2}}{q} \end{eqnarray*}$

n=1

verwirrt

Wir wollen nachweisen, dass die Folge monoton fallend ist. Zu zeigen ist also

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}\leq a_n ~\forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} a_n\neq 0 \end{eqnarray*}$ , können wir durch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ teilen. Dann ist obiges Kriterium äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}\leq 1 ~\forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Nun ist $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=q^{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n}=q^n \end{eqnarray*}$ nach Definition, also

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{q^{n+1}}{q^n}=q<1 \end{eqnarray*}$

und die Behauptung folgt.

02.02.2014, 19:51

Kasen75

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Zitat:

Original von Kimyaci
Dass alle kleiner 1 sind heißt ja dass die Funktion beschränkt ist bzw. sie konvergiert gegen 1?

Ja, die Folge konvergiert-aber nicht gegen 1.

Denn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$ ist was ?

Zitat:

Original von Kimyaci
Ach so, $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist kleiner als $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , daher ist die Funktion streng monoton fallend.

Das ist richtig. Man kann es auch noch allgemeiner aufschreiben, als du es getan hast. Also nicht für ein bestimmtes n.

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{q^{n+1}}{q^n}=q^{(n+1)-n}=q^1=q \end{eqnarray*}$

02.02.2014, 20:23

Kimyaci

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Oh, $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \end{eqnarray*}$ ? Da der Nenner größer als der Zähler ist, konvergiert das Ganze im Unendlichen gegen Null.

Ich versteh nicht so ganz was du mit der Aussage

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = q \end{eqnarray*}$

gezeigt hast?

02.02.2014, 21:55

Kasen75

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Zitat:

Original von Kimyaci
Oh, $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \end{eqnarray*}$ ? Da der Nenner größer als der Zähler ist, konvergiert das Ganze im Unendlichen gegen Null.

Genau.

Zitat:

Original von Kimyaci
Ich versteh nicht so ganz was du mit der Aussage

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = q \end{eqnarray*}$

gezeigt hast?

q ist ja kleiner als 1. Das heißt, dass auch $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ kleiner als 1 ist. Somit ist $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ kleiner als $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , da der Zähler kleiner als der Nenner sein muss, damit der Bruch kleiner als 1 ist.

02.02.2014, 22:15

Kimyaci

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Ach (*Licht aufgeh'), alles klar danke!!! Wink

Wink

02.02.2014, 23:28

Kasen75

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Freut mich, dass dir ein Licht aufgegangen ist. smile

smile

Grüße.

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