Holomorphe Funktion (Identitätssatz)

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Mathesüchtiger Auf diesen Beitrag antworten »
Holomorphe Funktion (Identitätssatz)
Hallo,

ich soll folgende Aussage beweisen oder widerlegen:

Es existiert eine Funktion , die holomorph in einer Umgebung von 0 ist, und die an den Stellen
die Werte

annimmt.

Vom Gefühl her würde ich sagen, dass die Aussage nicht stimmt, wie kann ich das allerdings zeigen? Hat jemand eine Idee?
Mathesüchtiger Auf diesen Beitrag antworten »

Keiner eine Idee? verwirrt
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das entscheidende Stichwort "Identitätssatz" hast du ja genannt. Auf welche beiden Funktionen würdest du den denn vielleicht anwenden wollen?
Mathesüchtiger Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Also, ich denke , dass wir einerseits

und andererseits haben.

allerdings stimmen die beiden Funktionen nicht an allen Stellen 1/n überein...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathesüchtiger
und andererseits haben.

Was im Grunde noch keine Funktion ist.

Zitat:
allerdings stimmen die beiden Funktionen nicht an allen Stellen 1/n überein...

Müssten sie das denn? Wenn ja, wozu ist es ein Widerspruch, dass sie es nicht tun?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte man hier nicht einfacher argumentieren? Die Nullstellen von hätten , im Holomorphiegebiet gelegen, als Häufungspunkt. So etwas geht bei einer holomorphen Funktion aber nicht, es sei denn, sie ist konstant Null.

Man kann ja durchaus eine Funktion mit den vorgegebenen Werten angeben:



Allerdings besitzt diese bei eine wesentliche Singularität, kann also nicht holomorph fortgesetzt werden.
 
 
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ob man nun den Identitätssatz auf und die Nullfunktion oder auf und die Identität anwendet, dürfte sich nicht viel nehmen. (wenn man die Isoliertheit der Nullstellen nicht schon allgemein gefolgert hat)
Mathesüchtiger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Zitat:
Original von Mathesüchtiger
und andererseits haben.

Was im Grunde noch keine Funktion ist.
Müssten sie das denn? Wenn ja, wozu ist es ein Widerspruch, dass sie es nicht tun?


Guten Morgen smile

Ich kann mit dem Identitätssatz noch nicht so gut umgehen.. verwirrt

Wie kann ich denn aus meinem eine Funktion basteln? Müsste ich auf die von Leopold kommen, oder gibts einfachere Möglichkeiten?

Ich nehme jetzt einfach mal seine Funktion..

Sei und
Dann stimmen und auf der Menge überein.

Der Häufungspunkt der Menge ist 0..aber die Funktion f ist nicht holomorph in 0. Also existiert solch eine Funktion nicht.

Habe ich denn dann schon die Aussage gezeigt? Es könnte doch auch noch andere Funktionen geben, die die Eigenschaften erfüllen
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathesüchtiger
Wie kann ich denn aus meinem eine Funktion basteln?

Um Existenz zu widerlegen, fängt man meist mit "Angenommen, ein solches Objekt würde existieren" an, um dann einen Widerspruch zu erzeugen.
Hier also: Angenommen, es gäbe eine Funktion , die auf einer Umgebung der Null holomorph ist und die genannten Werte annimmt.

Zitat:
Ich nehme jetzt einfach mal seine Funktion..

Sei

Die Funktion ist nicht auf einer Umgebung der Null holomorph; das nützt dir also nichts.

Zitat:
Es könnte doch auch noch andere Funktionen geben, die die Eigenschaften erfüllen

Genau.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erfüllt holomorphe Funktion die Bedingung? (Identitätssatz?)
@ Mathesüchtiger

Mit meiner Funktion wollte ich nur demonstrieren, daß man zwar

Zitat:
Original von Mathesüchtiger
Es existiert eine Funktion , die holomorph in einer Umgebung von 0 ist, und die an den Stellen
die Werte

annimmt.

erfüllen kann, dann aber die Holomorphie in verletzt. Ob man gar nicht umhin kann, diese zu verletzen, das sollst du gerade untersuchen.
Mathesüchtiger Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich denke ich habe es geschafft:

Angenommen es existiert eine Funktion , die die angegebene Eigenschaft erfüllt, dann stimmt einerseits auf der Menge , mit überein .Nach Voraussetzung müsste die Menge unendlich viele Punkte besitzen und einen Häufungspunkt besitzen, der im Holomorphie Bereich von f und g liegen muss. Also gilt

Andererseits stimmt dann auf der Menge mit überein (selbe Argumentation wie oben), also gilt dies ergibt einen Widerspruch, da
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das klingt ganz gut; allerdings ist keine Menge.
Mathesüchtiger Auf diesen Beitrag antworten »

* Auf der Menge

Da ich immernoch nicht so ganz mit den Identitätssatz vertraut bin, würde ich gerne noch ein paar Aufgaben dazu machen:

2) Es gibt eine holomorphe Funktion mit für alle und mit

Die Aussage ist sicherlich wieder falsch. Angenommen es existiert solch eine Funktion f, dann muss f bereits die Nullfunktion sein, da sie mit der Nullfunktion in übereinstimmt und der Häufungspunkt (Der Ursprung) im Holomorphiebereich von f und der Nullfunktion liegt.

Aber es gilt . Widerspruch. Also kann es solch eine Funktion nicht geben.

3) Es existiert eine Funktion f(z), welche holomorph in einer Umgebung von 0 ist und folgende Werte in animmt:

. Außerdem soll gelten: für alle

Ich denke diese Aussage ist wieder falsch:

Die Funktion f stimmt mit der Funktion auf der Menge überein und der Häufungspunkt der Menge ist 0. Da f und g in 0 holomorph sind, muss sein, allerdings gilt nur im Ursprung , also gibt es solch ein f nicht.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Das klingt ganz gut; allerdings ist keine Menge.

Mich stört auch noch "müßte ... besitzen" und "... liegen muß".

Zitat:
Original von Mathesüchtiger
Nach Voraussetzung müsste die Menge unendlich viele Punkte besitzen und einen Häufungspunkt besitzen, der im Holomorphie Bereich von f und g liegen muss. Also gilt


Diese Formulierung macht die Argumentation schwammig und unklar. Der Konjunktiv ist dabei gar nicht schlecht, denn man unterstellt ja, es gäbe eine Funktion mit den genannten Eigenschaften. Aber das "müßte" ... was soll das?
Warum nicht einfach: "Dann würden die Funktionen und auf der Menge der , die sich in häufen, übereinstimmen. Und da zum Holomorphiegebiet von gehören soll, ..."?
Mathesüchtiger Auf diesen Beitrag antworten »

Darüber habe ich mir noch keine Gedanken gemacht, aber danke für den Hinweis.

Solange der Rest stimmt, bin ich aber erstmal zufrieden smile

Danke für die Hilfe smile
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