Holomorphe Funktion (Identitätssatz)

01.02.2014, 20:39

Mathesüchtiger

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Holomorphe Funktion (Identitätssatz)

Hallo,

ich soll folgende Aussage beweisen oder widerlegen:

Es existiert eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ , die holomorph in einer Umgebung von 0 ist, und die an den Stellen $\begin{eqnarray*} {z_n=\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} , n=1,... \end{eqnarray*}$
die Werte

$\begin{eqnarray*} 0,\frac{1}{2},0,\frac{1}{4},0,\frac{1}{6},.....,0,\frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (n=2k) \end{eqnarray*}$ annimmt.

Vom Gefühl her würde ich sagen, dass die Aussage nicht stimmt, wie kann ich das allerdings zeigen? Hat jemand eine Idee?

01.02.2014, 23:39

Mathesüchtiger

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Keiner eine Idee? verwirrt

verwirrt

02.02.2014, 01:19

Che Netzer

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Das entscheidende Stichwort "Identitätssatz" hast du ja genannt. Auf welche beiden Funktionen würdest du den denn vielleicht anwenden wollen?

02.02.2014, 02:35

Mathesüchtiger

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Hallo.

Also, ich denke , dass wir einerseits $\begin{eqnarray*} g(z)=z \end{eqnarray*}$

und andererseits $\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{n}) = \begin{cases} 0 & n=2k+1 , k \in \mathbb N \\ \frac{1}{n} & n=2k , k\in \mathbb N \end{cases} \end{eqnarray*}$ haben.

allerdings stimmen die beiden Funktionen nicht an allen Stellen 1/n überein...

02.02.2014, 09:47

Che Netzer

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Zitat:

Original von Mathesüchtiger
und andererseits $\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{n}) = \begin{cases} 0 & n=2k+1 , k \in \mathbb N \\ \frac{1}{n} & n=2k , k\in \mathbb N \end{cases} \end{eqnarray*}$ haben.

Was im Grunde noch keine Funktion ist.

Zitat:

allerdings stimmen die beiden Funktionen nicht an allen Stellen 1/n überein...

Müssten sie das denn? Wenn ja, wozu ist es ein Widerspruch, dass sie es nicht tun?

02.02.2014, 10:21

Leopold

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Könnte man hier nicht einfacher argumentieren? Die Nullstellen $\begin{eqnarray*} z_{2n-1} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ hätten $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , im Holomorphiegebiet gelegen, als Häufungspunkt. So etwas geht bei einer holomorphen Funktion aber nicht, es sei denn, sie ist konstant Null.

Man kann ja durchaus eine Funktion mit den vorgegebenen Werten angeben:

$\begin{eqnarray*} f(z) = z \cdot \cos^2 \frac{\pi}{2z} \, , \ \ z \in \mathbb{C} \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray*}$

Allerdings besitzt diese bei $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ eine wesentliche Singularität, kann also nicht holomorph fortgesetzt werden.

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02.02.2014, 10:51

Che Netzer

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Naja, ob man nun den Identitätssatz auf $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und die Nullfunktion oder auf $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und die Identität anwendet, dürfte sich nicht viel nehmen. (wenn man die Isoliertheit der Nullstellen nicht schon allgemein gefolgert hat)

02.02.2014, 11:46

Mathesüchtiger

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Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Mathesüchtiger
und andererseits $\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{n}) = \begin{cases} 0 & n=2k+1 , k \in \mathbb N \\ \frac{1}{n} & n=2k , k\in \mathbb N \end{cases} \end{eqnarray*}$ haben.

Was im Grunde noch keine Funktion ist.
Müssten sie das denn? Wenn ja, wozu ist es ein Widerspruch, dass sie es nicht tun?

Guten Morgen smile

smile

Ich kann mit dem Identitätssatz noch nicht so gut umgehen.. verwirrt

verwirrt

Wie kann ich denn aus meinem $\begin{eqnarray*} f(1/n) \end{eqnarray*}$ eine Funktion basteln? Müsste ich auf die von Leopold kommen, oder gibts einfachere Möglichkeiten?

Ich nehme jetzt einfach mal seine Funktion..

Sei $\begin{eqnarray*} f(z)=z*cos^2(\frac{\pi }{2z}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(z)=z \end{eqnarray*}$
Dann stimmen $\begin{eqnarray*} g(z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ auf der Menge $\begin{eqnarray*} {n \in \mathbb N : \frac{1}{2n}} \end{eqnarray*}$ überein.

Der Häufungspunkt der Menge ist 0..aber die Funktion f ist nicht holomorph in 0. Also existiert solch eine Funktion nicht.

Habe ich denn dann schon die Aussage gezeigt? Es könnte doch auch noch andere Funktionen geben, die die Eigenschaften erfüllen

02.02.2014, 11:54

Che Netzer

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Zitat:

Original von Mathesüchtiger
Wie kann ich denn aus meinem $\begin{eqnarray*} f(1/n) \end{eqnarray*}$ eine Funktion basteln?

Um Existenz zu widerlegen, fängt man meist mit "Angenommen, ein solches Objekt würde existieren" an, um dann einen Widerspruch zu erzeugen.
Hier also: Angenommen, es gäbe eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , die auf einer Umgebung der Null holomorph ist und die genannten Werte annimmt.

Zitat:

Ich nehme jetzt einfach mal seine Funktion..

Sei $\begin{eqnarray*} f(z)=z*cos^2(\frac{\pi }{2z}) \end{eqnarray*}$

Die Funktion ist nicht auf einer Umgebung der Null holomorph; das nützt dir also nichts.

Zitat:

Es könnte doch auch noch andere Funktionen geben, die die Eigenschaften erfüllen

Genau.

02.02.2014, 12:03

Leopold

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RE: Erfüllt holomorphe Funktion die Bedingung? (Identitätssatz?)
@ Mathesüchtiger

Mit meiner Funktion wollte ich nur demonstrieren, daß man zwar

Zitat:

Original von Mathesüchtiger
Es existiert eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ , die holomorph in einer Umgebung von 0 ist, und die an den Stellen $\begin{eqnarray*} {z_n=\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} , n=1,... \end{eqnarray*}$
die Werte

$\begin{eqnarray*} 0,\frac{1}{2},0,\frac{1}{4},0,\frac{1}{6},.....,0,\frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (n=2k) \end{eqnarray*}$ annimmt.

erfüllen kann, dann aber die Holomorphie in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ verletzt. Ob man gar nicht umhin kann, diese zu verletzen, das sollst du gerade untersuchen.

02.02.2014, 13:35

Mathesüchtiger

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Hallo,

ich denke ich habe es geschafft:

Angenommen es existiert eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ , die die angegebene Eigenschaft erfüllt, dann stimmt einerseits $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ auf der Menge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(z)=z \end{eqnarray*}$ überein .Nach Voraussetzung müsste die Menge $\begin{eqnarray*} { z \in C : f(\frac{1}{2n} )=g(\frac{1}{2n} ) } \end{eqnarray*}$ unendlich viele Punkte besitzen und einen Häufungspunkt besitzen, der im Holomorphie Bereich von f und g liegen muss. Also gilt $\begin{eqnarray*} f(z)=z \end{eqnarray*}$

Andererseits stimmt dann $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ auf der Menge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h(z)=0 \end{eqnarray*}$ überein (selbe Argumentation wie oben), also gilt $\begin{eqnarray*} f(z)=0 \end{eqnarray*}$ dies ergibt einen Widerspruch, da $\begin{eqnarray*} h(z) =/= g(z). \end{eqnarray*}$

02.02.2014, 13:37

Che Netzer

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Das klingt ganz gut; allerdings ist $\begin{eqnarray*} \frac1{2n} \end{eqnarray*}$ keine Menge.

02.02.2014, 13:57

Mathesüchtiger

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* Auf der Menge $\begin{eqnarray*} (z\in C : z=\frac{1}{n}, n\in \mathbb N ) \end{eqnarray*}$

Da ich immernoch nicht so ganz mit den Identitätssatz vertraut bin, würde ich gerne noch ein paar Aufgaben dazu machen:

2) Es gibt eine holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f: C -> C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{n})=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0 =/= n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} f(-1)=-1 \end{eqnarray*}$

Die Aussage ist sicherlich wieder falsch. Angenommen es existiert solch eine Funktion f, dann muss f bereits die Nullfunktion sein, da sie mit der Nullfunktion in $\begin{eqnarray*} ( z \in C : z=\frac{1}{n} , n \in \mathbb N ) \end{eqnarray*}$ übereinstimmt und der Häufungspunkt (Der Ursprung) im Holomorphiebereich von f und der Nullfunktion liegt.

Aber es gilt $\begin{eqnarray*} f(-1)=/=0 \end{eqnarray*}$ . Widerspruch. Also kann es solch eine Funktion nicht geben.

3) Es existiert eine Funktion f(z), welche holomorph in einer Umgebung von 0 ist und folgende Werte in $\begin{eqnarray*} (z_n=\frac{1}{n} , n\in \mathbb N ) \end{eqnarray*}$ animmt:

$\begin{eqnarray*} 1,\frac{1}{8},\frac{1}{27},....,\frac{1}{n^3} \end{eqnarray*}$ . Außerdem soll gelten: $\begin{eqnarray*} f(z_n)=f(-z_n) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Ich denke diese Aussage ist wieder falsch:

Die Funktion f stimmt mit der Funktion $\begin{eqnarray*} g(z)=\frac{1}{n^3} \end{eqnarray*}$ auf der Menge $\begin{eqnarray*} ( z \in C : z=\frac{1}{n} , n\in \mathbb N ) \end{eqnarray*}$ überein und der Häufungspunkt der Menge ist 0. Da f und g in 0 holomorph sind, muss $\begin{eqnarray*} f(z)=z^3 \end{eqnarray*}$ sein, allerdings gilt nur im Ursprung $\begin{eqnarray*} f(z)=f(-z) \end{eqnarray*}$ , also gibt es solch ein f nicht.

02.02.2014, 14:02

Che Netzer

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Genau.

02.02.2014, 14:04

Leopold

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Zitat:

Original von Che Netzer
Das klingt ganz gut; allerdings ist $\begin{eqnarray*} \frac1{2n} \end{eqnarray*}$ keine Menge.

Mich stört auch noch "müßte ... besitzen" und "... liegen muß".

Zitat:

Original von Mathesüchtiger
Nach Voraussetzung müsste die Menge $\begin{eqnarray*} { z \in C : f(\frac{1}{2n} )=g(\frac{1}{2n} ) } \end{eqnarray*}$ unendlich viele Punkte besitzen und einen Häufungspunkt besitzen, der im Holomorphie Bereich von f und g liegen muss. Also gilt $\begin{eqnarray*} f(z)=z \end{eqnarray*}$

Diese Formulierung macht die Argumentation schwammig und unklar. Der Konjunktiv ist dabei gar nicht schlecht, denn man unterstellt ja, es gäbe eine Funktion mit den genannten Eigenschaften. Aber das "müßte" ... was soll das?
Warum nicht einfach: "Dann würden die Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf der Menge der $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n}, n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , die sich in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ häufen, übereinstimmen. Und da $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ zum Holomorphiegebiet von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gehören soll, ..."?

02.02.2014, 14:11

Mathesüchtiger

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Darüber habe ich mir noch keine Gedanken gemacht, aber danke für den Hinweis.

Solange der Rest stimmt, bin ich aber erstmal zufrieden smile

smile

Danke für die Hilfe smile

smile

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