Grundsätzliches - Winkelfunktionen

01.02.2014, 21:10

Kimyaci

Grundsätzliches - Winkelfunktionen

Ich bräuchte mal jemanden der mir kurz hilft, ich komme bei kaum einer trigonometrischen Gleichung weiter. Hier mal ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \cos(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

Liege ich in der Annahme richtig, dass die Wurzel nie negativ sein kann, da cos(x) höchstens den Wert 1 annehmen kann? Durch Quadrieren erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \cos^2(x) = 1-\cos^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 2 \cos^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \cos^2(x) = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow | \cos(x) | = \frac 1{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \cos(x) = \pm \frac 1{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x = \arccos(\pm \frac 1{\sqrt 2}) \end{eqnarray*}$

Das wäre meine Lösung, ganz naiv gelöst ohne großartige Umformungen oder Tricks. Nun mein eigentliches Problem, wenn ich die Gleichung bei Wolfram Alpha eingebe erhalte ich als Graphen:

[attach]33057[/attach]

Soweit so gut und nun die kryptische Lösung:

$\begin{eqnarray*} x = 2 (\pi \cdot n - \frac{\pi}{8}) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 2 (\pi \cdot n + \frac{\pi}{8}) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Meine Lösungen widersprechen stets denen von Wolfram Alpha... und wie die drauf kommen ist mir auch schleierhaft. Auch wenn ich zwischendurch irgendwelche Fehler gemacht haben sollte, die Periodizität kann ich in der Lösung nie mit angeben..

02.02.2014, 00:04

Dopap

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RE: Grundsätzliches - Winkelfunktionen

Zitat:

Original von Kimyaci
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow | \cos(x) | = \frac 1{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \cos(x) = \pm \frac 1{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x = \arccos(\pm \frac 1{\sqrt 2}) \end{eqnarray*}$

trigonometrische Gleichungen löst man nicht durch Anwendung der Umkehrfunktion, da diese nur für den streng monotonen Teil der Funktion gilt. ---> Thread
----------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \cos(x) =\frac {1}{\sqrt 2}=\tfrac 12 \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ und nach dem Thread über wichtige Werte der trig. Funktionen ist damit $\begin{eqnarray*} x=\tfrac 14 \pi \end{eqnarray*}$
Man nennt jetzt diesen Wert den Hauptwert $\begin{eqnarray*} \hat x \end{eqnarray*}$
Das ist der, den arccos() liefert. Es gibt noch einen weiteren Hauptwert im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ den man sich mittels $\begin{eqnarray*} \cos(x)=\cos(2\pi-x) \end{eqnarray*}$ klarmacht.

Beliebig viele weitere Lösungen erhält man jeweils durch Anwendung der Periode $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$

02.02.2014, 00:24

mYthos

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Das Problem liegt - wieder einmal - beim Quadrieren, weil dies im Gesamten keine Äquivalenzumformung darstellt.
Daher müssen ALLE damit erhaltenen Lösungen anschließend auf Plausibiltät untersucht, d.h. mit ihnen die Probe gemacht werden.

Somit ist bereits aus der Angabe abzuleiten, dass von den Lösungen nur jene in Frage kommen, deren COS positive Funktionswerte liefert.
Das sind die Hauptwerte $\begin{eqnarray*} + \frac {\pi} 4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\frac {\pi} 4 \end{eqnarray*}$ und alle weiteren Werte im Abstand von $\begin{eqnarray*} \pm 2\pi \end{eqnarray*}$ .
Das deckt sich denn auch mit der von Wolfram ermittelten Lösung, welche in dieser Hinsicht gar nicht (mehr) kryptisch ist..

mY+

02.02.2014, 19:32

Kimyaci

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@Dopap: Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \cos(x) = \cos(\frac{\pi} 2 - x) \end{eqnarray*}$ ?

@mythos: Bis auf den Teil mit den Hauptwerten hab ich das verstanden, aber ich sehe gerade nicht warum es mehr Lösungen/Hauptwerte als $\begin{eqnarray*} \pm \frac{\pi} 4 \end{eqnarray*}$ geben sollte?

02.02.2014, 20:15

wastl

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Es gilt (cos(x))^2 +(sin(x))^2=1 (Sollte bekannt sein!)

Also sqrt(1-(cos(x))^2)=sin(x)

Die Gleichung wird dann zu sin(x)=cos(x), x = Pi/4
(+ k*2*Pi Verschiebung um eine k Perioden, k aus Z)

02.02.2014, 20:21

Dopap

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Zitat:

Original von Kimyaci
@Dopap: Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \cos(x) = \cos(\frac{\pi} 2 - x) \end{eqnarray*}$ ?

ich schrieb aber: $\begin{eqnarray*} \cos(x) = \cos(2\pi - x) \end{eqnarray*}$

nun, das machst du dir am Einheitskreis klar, es gilt für jeden Kreispunkt $\begin{eqnarray*} P(\cos(\varphi ),\sin(\varphi )) \end{eqnarray*}$

Zitat:

@mythos: Bis auf den Teil mit den Hauptwerten hab ich das verstanden, aber ich sehe gerade nicht warum es mehr Lösungen/Hauptwerte als $\begin{eqnarray*} \pm \frac{\pi} 4 \end{eqnarray*}$ geben sollte?

ich kann nicht für mYthos sprechen, der aber meistens erst ab Mitternacht am Board ist, deshalb nur:

lass Wolfram alpha mal von -20 bis 20 plotten, dann wird dir bestimmt was auffallen.

02.02.2014, 20:31

HAL 9000

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Wie mYthos schon sagte, das Problem liegt beim Quadrieren.

$\begin{eqnarray*} \cos(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)} \quad\Rightarrow\quad \cos^2(x) = 1-\cos^2(x) \end{eqnarray*}$

ist richtig, aber die Umkehrung

$\begin{eqnarray*} \cos(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)} \quad\Leftarrow\quad \cos^2(x) = 1-\cos^2(x) \end{eqnarray*}$

ist falsch, wie man an der Scheinlösung $\begin{eqnarray*} x=\frac{3}{4}\pi \end{eqnarray*}$ sieht. Richtig ist, dass in der Originalgleichung rechts die Wurzel garantiert nichtnegativ ist, was dann auch auf die linke Seite $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ zutreffen muss. Wenn man das also unbedingt als Äquivalenz schreiben will, dann in etwa so:

$\begin{eqnarray*} \cos(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)} \quad\Rightarrow\quad \left[ \cos^2(x) = 1-\cos^2(x) \;\wedge\; \cos(x)\geq 0 \right] \end{eqnarray*}$ .

02.02.2014, 21:23

Kimyaci

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@Dopap: Das mit dem Einheitskreis lassen wir mal lieber (weil ich das nicht so wirklich mag), aber habs graphisch verstanden, $\begin{eqnarray*} + n \cdot \pi \end{eqnarray*}$ ist ja eine Verschiebung nach links und es gilt $\begin{eqnarray*} \cos(-x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$ , daher ist das dasselbe. Ist das Standard, dass man diesen Ausdruck verwendet?

@wastl; kannst du bitte Latex benutzen? Ansonsten hab ich deinen Weg soweit verstanden.

@Hal: Alles klar, aber gibt es denn eine andere Möglichkeit um das irgendwie zu lösen? Ich muss ja quadrieren um die Wurzel wegzubekommen...

02.02.2014, 21:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kimyaci
aber gibt es denn eine andere Möglichkeit um das irgendwie zu lösen?

Hab ich diese andere Möglichkeit nicht eben hingeschrieben??? verwirrt

EDIT: Ah, ok, ich hatte den Äquivalenzpfeil vergessen zu editieren - wird hiermit nachgeholt:

$\begin{eqnarray*} \cos(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)} \quad\Leftrightarrow\quad \left[ \cos^2(x) = 1-\cos^2(x) \;\wedge\; \cos(x)\geq 0 \right] \end{eqnarray*}$ .

02.02.2014, 21:53

Kimyaci

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Ok entschuldige, hatte ich wohl missverstanden. Das muss ich noch üben bevor das sitzt..

03.02.2014, 13:34

mYthos

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Zitat:

Original von Dopap
...
ich kann nicht für mYthos sprechen, der aber meistens erst ab Mitternacht am Board ist, ...

Ähhm, am Vormittag öfters auch .. und dann erst gegen die späte Nacht, wenn zu Hause Ruhe eingekehrt ist ... Big Laugh

Ich bin zwar im Ruhestand, aber hast du schon mal Pensionisten gesehen, die viel Zeit haben? Big Laugh

mY+

03.02.2014, 14:08

riwe

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Zitat:

Original von mYthos

Ich bin zwar im Ruhestand, aber hast du schon mal Pensionisten gesehen, die viel Zeit haben? Big Laugh

mY+

immer, wenn ich in den Spiegel schau smile

03.02.2014, 15:09

mYthos

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Da bist du eine seltene Ausnahme Big Laugh

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