Komplexe Gleichung lösen (Bruch)

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02.02.2014, 13:42	Julia1095	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Gleichung lösen (Bruch) Meine Frage: Hey, ich bin grad dabei ein paar Übungsaufgaben zu rechnen. Normal weiß ich, dass man eine komplexe Gleichung "einfach" nach z auflösen kann. Meine Ideen: Die Aufgabe bei der ich aber absolut keinen Plan habe ist: $\begin{eqnarray} \| \frac{z-i}{z-1} \| \end{eqnarray}$ Ich werd irgendwie total aus der Bahn geworfen von dem z/z. Ich muss es ja irgendwie auf einen Bruchstrich bringen aber ich stehe einfach nur auf dem Schlauch. Vllt kann mir jmd einen Denkanstoß geben wie das machbar ist. Grüße Julia
02.02.2014, 13:43	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe da keine Gleichung.
02.02.2014, 13:44	Julia1095	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann leider nicht editieren: Die Formel hieß natürlich so: $\begin{eqnarray} \| \frac{z-i}{z-1} \| = 1 \end{eqnarray}$
02.02.2014, 13:57	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst den Betrag auch so schreiben: $\begin{eqnarray} \left\|\frac{z-i}{z-1}\right\|=\frac{\|z-i\|}{\|z-1\|} \end{eqnarray}$ Jetzt setze $\begin{eqnarray} z:=a+bi \end{eqnarray}$ und setze das in die Gleichung ein.
02.02.2014, 19:36	Julia1095	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich mal gemacht. Allerdings komme ich nicht wirklich weiter. Irgendwie bin ich zu blöd, weil das a+bi im Zähler und Nenner steht. Das macht es irgendwie schwer für mich, da ich es sonst gewohnt das z leicht auf eine Seite zu bringen und dann zu einer Lösung der Form z=a+bi zu kommen. Ist das schreiben von z=a+bi sinnvoll bzw notwendig. Bislang haben wir das nur gemacht in Aufgaben der Form: z+i=Im(3+i) oder Ähnliches. Grüße
03.02.2014, 08:53	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich helf mal kurz aus. Es ist in der Tat am einfachsten, z=a+bi zu setzen. Nun hast Du zwei komplexe Zahlen, von denen jeweils der Betrag zu bilden ist. Wie geht das grundsätzlich? Anschließend überleg Dir, was es bedeutet, wenn der Quotient zweier Zahlen Eins ist. ((Nick hat sich verschrieben.) Viele Grüße Steffen
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03.02.2014, 17:56	Julia 1095	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich hab auch schon drüber nachgedacht. Also eigentlich müsste ja a+bi-i = z-1 sein, wenn der Quotient 1 ist. Oder mit dem Betrag eben. -(3+bi-i)=z-1 bzw a+bi-1 = -(a+bi-1), wenn ich das richtig verstehe. Allerdings komm ich selbst durch das Umformen von z nach a+bi nicht drauf. Ergeben sich für mich nur mehr Variablen und in meinem Kopf verdreht sich alles noch mehr. Vllt hab ich doch Dyskalkulie :O
03.02.2014, 18:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Aufgabe ist auch für Dyskalkuliekerinnen bestens geeignet. Geometrisch wird in der Gaußschen Ebene die Menge aller Punkte z gesucht, die von i und 1 denselben Abstand haben, weil $\begin{eqnarray} \frac {\|z-i\|}{\|z-1\|}=1\Leftrightarrow \|z-i\|=\|z-1\| \end{eqnarray}$ .
03.02.2014, 18:27	Julia1095	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, macht Sinn, kann ich mir auch gut vorstellen. Worien liegt dann genau der Vorteil z nach a+bi umzuschreiben? Wenn ich mir das richtig vorstelle gerade, müssten das ja alle Punkte sein, die auf der Geraden f(x)=x liegen :o
03.02.2014, 18:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So stelle ich mir das auch vor. Die Gerade heißt aber Re(z)=Im(z) . Der Vorteil mit a+bi ist für mich nicht ersichtlich. Augenscheinlich muss a=b herauskommen.
03.02.2014, 18:35	Julia1095	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal Stellt sich für mich nur die Frage wie man das rechnerisch löst. Ich hab mir das jetzt im Kopf vorgestellt und man kommt dann auf deine genannte Gleichung Re(z)=Im(z). Kann man das auch rechnerisch zeigen oder ist die Rechnung praktisch schon zuende mit z - i = z -1 :o
03.02.2014, 18:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Rechnung ist praktisch überflüssig, weil man sich seit Gauß (1777-1855) der Geometrie der komplexen Zahlen bedienen kann. Rechnen geht natürlich auch, und es kommt wie erwartet a=b heraus. Betrag nicht vergessen ! $\begin{eqnarray} z-i=z-1 \end{eqnarray}$ ist eine ganz andere Gleichung, die wegen $\begin{eqnarray} i\ne 1 \end{eqnarray}$ keine Lösung hat.
03.02.2014, 18:49	Julia1095	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, wenn es gehießen hätte: $\begin{eqnarray} \| \frac{z-i}{z-1} \| = 3 \end{eqnarray}$ Wären das dann alle Zahlen gewesen, die von 1 dreimal so großen Abstand haben wie von i? Also 3*R(z)=Im(z) ?? Oder kann man das so nicht übertragen
03.02.2014, 18:50	Julia1095	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh genau falsch rum :< Kanns leider nicht editieren.
03.02.2014, 18:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, wenn unsere geometrische Vorstellung versagt, dürfen wir rechnen. Dann kommt die Algebra zu Ehren. Nur gut, dass die Mathematik viele interessante Teilgebiete hat, dann wird uns nicht so schnell langweilig. ... es kommt ein Kreis heraus
03.02.2014, 19:27	Julia1095	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das höhere Mathematik auf diesen Kreis zu kommen, oder ist das etwas was man rechnerisch zeigen können sollte. Kann mir nicht vorstellen wie man da ohne weiteres drauf kommt.
04.02.2014, 13:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ganz billige analytische Geometrie, wie man sie in der Vorlesung "Lineare Algebra" lernt. Es ergibt sich mit $\begin{eqnarray} z=a+bi \end{eqnarray}$ und der üblichen Betragsberechnung $\begin{eqnarray} \|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\Rightarrow \|z\|^2=a^2+b^2 \end{eqnarray}$ eine quadratische Gleichung in den Variablen a und b, also eine Quadrik. Die Gerade in der ursprünglichen Aufgabe ist nur ein Sonderfall davon.
04.02.2014, 13:43	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmals zur Berechnung, welche bisher im ganzen Thread etwas zu kurz gekommen ist: $\begin{eqnarray} z = a + bi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|z - i\| = \|z - 1\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|a + (b-1)i\| = \|(a-1) + bi\| \end{eqnarray}$ Nun muss die Formel für den Betrag eingesetzt werden: $\begin{eqnarray} \|x + iy\| = \sqrt{x^2 + y^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^2 + b^2 - 2b + 1 = a^2 + 2a(b-1) + b^2 -2ab + 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a = b \end{eqnarray}$ So. Jetzt hast du gesehen, wie die Rechnung zu führen ist. Mache dies nun analog für $\begin{eqnarray} \|z - i\| = 3 \|z - 1\| \end{eqnarray}$ mY+

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