DGL umformen nach y

02.02.2014, 13:59

dr.mave

DGL umformen nach y

Hallo,

ich habe eine recht simple Frage. Ich sollte eine DGL 1. Grades ausrechnen. Habe ich getan. die DGL lautet

y`=9y

wenn ich diese linear als y`-9y=0 ausrechne erhalte ich richtig y=c*e^(9x)
wenn ich diese separabel ausrechne sollte ich das gleiche ausrechnen. Aber ich erhalte folgendes

ln(y)=9x+c (umformen nach y)

y=e^(9x+c)

Warum ist die Konstante "c" nun oben im Exponenten der e-Funktion? Das ist doch falsch, oder?

02.02.2014, 14:19

Kasen75

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Hallo,

die Ergebnisse sind ja prinzipiell identisch. Ich weiß jetzt nur nicht, was du einzeln bei beiden Wegen gerechnet hast. Könntest du das mal posten ?

Grüße.

02.02.2014, 14:32

dr.mave

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Kein Problem. Hier erstmal linear gelöst:

y`-9y=0

hier die Formel:
$\begin{eqnarray*} y(homogen)=c*e^{-\int \! f(x) \, dx } \end{eqnarray*}$

einsetzen und integrieren:
$\begin{eqnarray*} y(homogen)=c*e^{-\int \! 9x \, dx } -> y(homogen)=c*e^{9x} \end{eqnarray*}$

Jetzt die separable Lösung:
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} =9y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{y} \, dy=\int \! 9 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(y)=9x+c \end{eqnarray*}$

nach y auflösen

$\begin{eqnarray*} e^{ln(y)}=e^{9x+c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=e^{9x+c} \end{eqnarray*}$

Warum ist jetzt das C oben im Exponenten von e ??? Hoffe, du kannst mir helfen.

02.02.2014, 15:03

Cheftheoretiker

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Beide Ergebnisse sind korrekt.

$\begin{eqnarray*} y=e^{9x+c}=e^{9x}\cdot e^c=ce^{9x} \end{eqnarray*}$

02.02.2014, 15:06

Kasen75

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Zitat:

Original von dr.mave

einsetzen und integrieren:
$\begin{eqnarray*} y(homogen)=c*e^{-\int \! 9x \, dx } -> y(homogen)=c*e^{9x} \end{eqnarray*}$

f(x) ist hier -9 und nicht 9x.

Deswegen: $\begin{eqnarray*} y(homogen)=c*e^{-\int \! \textcolor{red}{-9} \, dx } -> y(homogen)=c*e^{9x} \end{eqnarray*}$

Du gehst ja von $\begin{eqnarray*} y'+f(x) \cdot y=0 \end{eqnarray*}$ aus. Jetzt die einzelnen Ausdrücke mit $\begin{eqnarray*} y'-9y=0 \end{eqnarray*}$ vergleichen.

Zitat:

Original von dr.mave

Jetzt die separable Lösung:
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} =9y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{y} \, dy=\int \! 9 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(y)=9x+c \end{eqnarray*}$

nach y auflösen

$\begin{eqnarray*} e^{ln(y)}=e^{9x+c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=e^{9x+c} \end{eqnarray*}$

Warum ist jetzt das C oben im Exponenten von e ??? Hoffe, du kannst mir helfen.

Soweit richtig. Bei deinem ersten Vorgehen hast du eine Formel verwendet, die genau diese Form des Ergebnisses ausspuckt. Damit das Ergebnis beim zweiten auch diese Form erhält, kannst du $\begin{eqnarray*} y=e^{9x+c} \end{eqnarray*}$ umformen zu $\begin{eqnarray*} y=e^{9x} \cdot e^c \end{eqnarray*}$ (Potenzgesetze).
Jetzt kannst du noch $\begin{eqnarray*} e^c \end{eqnarray*}$ (Konstante) mit der Konstante C substituieren. $\begin{eqnarray*} y=y=e^{9x} \cdot C \end{eqnarray*}$ .
Damit stehen beide Ergebnisse in der gleichen Form da. Prinzipiell waren deine Ergebnisse aber schon immer identisch, da die beiden Konstanten C unbestimmt waren.

Beispiel zur Bestimmung der jeweiligen Konstante:

Anfangswert: $\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$

a) $\begin{eqnarray*} 1=c*e^{9*0} \Rightarrow 1=c \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} e^{9*0}=1 \end{eqnarray*}$ . spezielle Lösung: $\begin{eqnarray*} y=e^{9x} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} 1 =e^{9x+c} \Rightarrow c=0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} e^{9*0+0}=1 \end{eqnarray*}$ . spezielle Lösung: $\begin{eqnarray*} y=e^{9x} \end{eqnarray*}$

Fazit: Die Konstante C bestimmt sich erst mit einer zusätzlichen Bedingung. Je nachdem welche Form der allgemeinen Lösung man verwendet, nimmt die entsprechende Konstante einen bestimmten Wert an. In allen Fällen führt es dann zur identischen speziellen Lösung.

02.02.2014, 16:02

dr.mave

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Hallo nochmal,

danke für deine Erklärung. Kann man e^c immer mir C substituieren?
Ich habe gerade mal versucht dein Beispiel mit y(0)=1 zu verstehen. Ich erhalte, genau wie du, einmal c=0 und einmal c=1 raus

Wie kann das sein wenn beide Gleichungen identisch sein sollen?

02.02.2014, 16:10

Kasen75

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Zitat:

Original von dr.mave
Hallo nochmal,

danke für deine Erklärung. Kann man e^c immer mir C substituieren?

Ja. Du kannst natürlich auch mit K substituieren-oder einem sonstigem Parameter.

Zitat:

Original von dr.mave
Ich habe gerade mal versucht dein Beispiel mit y(0)=1 zu verstehen. Ich erhalte, genau wie du, einmal c=0 und einmal c=1 raus

Wie kann das sein wenn beide Gleichungen identisch sein sollen?

Die beiden speziellen Lösungen müssen identisch sein. Das muss so sein, wenn man von einer identischen Differentialgleichung ausgeht.
Jetzt werden die unterschiedlichen Konstanten so bestimmt, das die Bedingung erfüllt ist. Und hier kommen für die verschiedenen Konstanten eben verschiedene Werte heraus.

02.02.2014, 16:13

BigMom

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Zitat:

Original von Cheftheoretiker

$\begin{eqnarray*} y=e^{9x+c}=e^{9x}\cdot e^c=ce^{9x} \end{eqnarray*}$

So geht das natürlich nicht! Es muss eine neue Konstante C, so wie zB Kasen75 es gemacht hat, eingeführt werden.

03.02.2014, 11:51

dr.mave

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perfekt. Vielen Dank. Ich habe verstanden. Danke für die Mühe...

03.02.2014, 11:56

Kasen75