Kurvendiskussion: Skihalle

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03.02.2014, 10:55	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Tag. Ich bin wieder da mit einer neuen Abituraufgabe, die etwas anders ist, jetzt mit e-Funktion. Ich muss das alles machen^^, um zu schauen, ob ich das kann oder nicht. Ich bedanke mich schon im vorraus.^^ Gegeben ist die Funktionenschar $\begin{eqnarray} f_{a} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_a(x)=(x+a) \cdot e^{a-x}, \, x \in \mathbb{R}; \, \, a \in \mathbb{R}, \, \, a>0 \end{eqnarray}$ . Der Graph der Funktion $\begin{eqnarray} f_a \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} G_a \end{eqnarray}$ . In der Anlage sind einige Graphen $\begin{eqnarray} G_a \end{eqnarray}$ dargestellt. a) Ermitteln Sie die Nullstelle von $\begin{eqnarray} f_a \end{eqnarray}$ , die Koordinaten und Art des Extrempunktes sowie die Koordinaten des Wendepunktes von $\begin{eqnarray} G_a \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit vom Parameter a. Auf den Nachweis der Existenz des Wendepunktes wird verzichtet. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente $\begin{eqnarray} t_a \end{eqnarray}$ . Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von $\begin{eqnarray} f_a \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \to \infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \to -\infty \end{eqnarray}$ . c) Weisen Sie nach, dass für alle Funktionen $\begin{eqnarray} f_a \end{eqnarray}$ die Gleichung $\begin{eqnarray} f_a(x)+f'_a(x)=e^{a-x} \end{eqnarray}$ gilt. Ermitteln Sie eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f_a \end{eqnarray}$ . e) Der Graph der Funktion $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ beschreibt für $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ im Modell das Profil der Skipiste in einer Skihalle (1 LE= 10m). Das Profil des Hallenbodens liegt auf der x-Achse. Der Querschnitt des Unterbaus der Piste ist ein rechtwinkliges Trapez, das begrenzt wird durch die beiden Koordinatenachsen, einer Parallelen zur x-Achse durch den Wendepunkt $\begin{eqnarray} W_1(1\|2) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} G_1 \end{eqnarray}$ und der zugehörigen Wedentangente $\begin{eqnarray} y=-x+3 \end{eqnarray}$ . Der Raum oberhalb des Unterbaus wird mit Kunstschnee aufgefüllt, bis die gewünschte Profilform der Piste erreicht ist. Berechnen Sie, wie viele Kubikmeter Kunstschnee für eine Piste von 25 m Breite und einer waagerechten Länge von 60 m hergestellt werden müssen. Idee: Aufgabe a) Um die Nullstelle zu bestimmen, müssen wir die Funktion gleich null setzen: $\begin{eqnarray} f_a(x)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x+a) \cdot e^{a-x}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+a=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=-a \end{eqnarray}$ Nun müssen wir die Koordinaten des Extrempunktes bestimmen, dazu leiten wir $\begin{eqnarray} G_a \end{eqnarray}$ ab. Unter Anwendung der Produktregel, ergibt sich für die Ableitung: $\begin{eqnarray} G'_a(x)=-(x+a-1) \cdot e^{a-x}=(-x-a+1) \cdot e^{a-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G'_a(x)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-x-a+1) \cdot e^{a-x}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=-a+1 => G_a(-a+1)=e^{2 \cdot a-1} => E_{a}(-a+1 \, \| \, e^{2 \cdot a-1}) \end{eqnarray}$ Um die Art zu bestimmen, brauchen wir die zweite Ableitung: $\begin{eqnarray} G''_a(x)=(x+a-2) \cdot e^{a-x} => G''(-a+1)=-e^{2 \cdot a-1} < 0 \, \, \, \text{Maximum} \end{eqnarray}$ Nun wird nach dem Wendepunkt gefragt, dazu setzen wir die zweite Ableitung gleich null: $\begin{eqnarray} G''(x)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x+a-2) \cdot e^{a-x}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=2-a => G_a(2-a)=2 \cdot e^{2 \cdot a-2} => W_{a}(2-a \, \| \, 2 \cdot e^{2 \cdot a-2}) \end{eqnarray}$ Um die Art des Wendepunktes zu bestimmen, brauchen wir die dritte Ableitung und setzen den x-Wert des Wendepunktes für x ein. $\begin{eqnarray} G'''_a(x)=(-x-a+3) \cdot e^{a-x} => G'''_a(2-a)=e^{2 \cdot a -2} > 0 \, \, \text{Rechts-Links-Krümmung} \end{eqnarray}$ Nun müssen wir die Gleichung der Wendetangente $\begin{eqnarray} t_a \end{eqnarray}$ bestimmen. Dafür brauchen zuerst die Steigung, die wir mit der ersten Ableitung berechnen können. $\begin{eqnarray} G'_a(2-a)=-e^{2 \cdot a-2}=m \end{eqnarray}$ Punktsteigungsformel: $\begin{eqnarray} t(x)=m \cdot (x-x_0)+y_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t_a(x)=-e^{2 \cdot a-2} \cdot (x-(2-a))+2 \cdot e^{2 \cdot a-2} \end{eqnarray}$ Somit hätten wir die Wendetangente . Jetzt fehlt nur das Verhalten gegen unendlich. Hier muss ich leider passen -.-. Aufgabe c) Hier muss ich nur überprüfen, ob diese Gleichung gilt: $\begin{eqnarray} f_a(x)+f'_a(x)=e^{a-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_a(x)=(x+a) \cdot e^{a-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'_a(x)=(-x-a+1) \cdot e^{a-x} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} (x+a) \cdot e^{a-x}+(-x-a+1) \cdot e^{a-x}=e^{a-x} \cdot (x+a-x-a+1)=e^{a-x} \end{eqnarray}$ Somit hätte ich nachgewiesen, dass es stimmt . Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f_a(x) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \int \! f_a(x) \, dx=\int \!(x+a) \cdot e^{a-x} \, dx \end{eqnarray}$ Leider muss ich hier auch passen, weil mir keine gescheite Regel einfällt, womit man dies integriert . Aufgabe e) Hier habe ich mir erst ein Schaubild erstellt: Wie muss ich die Grenzen aber wählen, da bin ich überfragt ^^ Vielen Dank schon mal ) Ich habe versucht alleine weiterzukommen, aber mir ist nur etwas zur Aufgabe a) eingefallen und zwar habe ich die Funktion gezeichnet und nachgesehen, wie sie sich im unendlichen verhält. Für plus unendlich strebt die Funktion gegen null und für minus unendlich strebt die Funktion gegen -unendlich. Kann man das aber auch rechnerisch nachweisen ? Habe noch ein Problem gelöst und zwar bei Aufgabe c). Ich habe lange recherchieren müssen und zwar muss man anscheinend die sogenannte partielle Integration benutzen, um die Stammfunktion zu bilden. $\begin{eqnarray} F_a(x)=\int \! (x+a) \cdot e^{a-x} \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b(x)=x+a \, \, \, b'(x)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d(x)=-e^{a-x} \, \, \, d'(x)=e^{a-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_a(x)=\int \! (x+a) \cdot e^{a-x} \, dx=(x+a) \cdot -e^{a-x} - \int \! (-e^{a-x})dx=(a+x) \cdot (-e^{a-x})-e^{a-x}+c=(-x-a-1) \cdot e^{a-x} +c \end{eqnarray}$ Somit fehlt nur noch die letzte Aufgabe. Ich bitte wirklich um Hilfe^^, da fällt mir ehrlich nichts ein. Drei Beiträge zusammengefügt. Steffen
03.02.2014, 11:36	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab beim Zusammenfassen Dein Schaubild durch einen Plot ersetzt. Der Schnee soll die rote Linie sein. Der liegt bis x=1 auf der grünen Linie, bis x=3 dann auf der blauen Linie, danach auf der x-Achse. Und dessen Volumen sollst Du berechnen. Viele Grüße Steffen
03.02.2014, 12:29	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde dann erst die Fläche von null bis sechs bestimmen. $\begin{eqnarray} \int_{0}^{6} \! (x-1) \cdot e^{a-x}dx \end{eqnarray}$ Und dann würde ich die Formel für ein Trapez anwenden also: $\begin{eqnarray} T=\frac{1}{2} \cdot (a+b) \cdot h=A_1 \end{eqnarray}$ Was soll ich aber für b wählen?
03.02.2014, 12:38	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach Dir's nicht so schwer. Schau mal: [attach]33083[/attach] Du musst die orangefarbene Fläche berechnen. Die teilst Du Dir sinnvollerweise in diejenige von 0<x<1, dann die für 1<x<3, dann die für 3<x<6. Siehst Du das? Und die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen f(x) und g(x) ist einfach die Fläche von Null bis f(x)-g(x). Viele Grüße Steffen
03.02.2014, 13:06	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann sei g(x)= 2 und h(x)= -x+3 $\begin{eqnarray} \left(\int_0^{3} f_1(x)-h(x)\right)+\left(\int_{3}^{6} \! f_1(x)\right)dx=A_{1} \end{eqnarray}$ So hier?
03.02.2014, 14:09	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast. Von 0 bis 1 brauchst Du f1(x)-g(x), von 1 bis 3 nimmst Du f1(x)-h(x), und von 3 bis 6 in der Tat f1(x). Was bekommst Du raus?
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03.02.2014, 14:24	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Komme auf 1,38=A
03.02.2014, 14:35	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Und auf wieviel Kubikmeter kommst Du somit?
03.02.2014, 14:42	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1 LE = 10 m => 1 FE = 100 m^{2} \end{eqnarray}$ d.h $\begin{eqnarray} 1,38 \cdot 100 m^{2} =138 \, \, m^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 138 \, m^{2} \cdot 25 \, m =3450 \, m^{3}= V \end{eqnarray}$ Soviel Kunstschnee wird benötigt^^ Hoffe das ich keinen fehler gemacht habe
03.02.2014, 14:45	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollkommen richtig! Viele Grüße Steffen
03.02.2014, 14:46	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok Vielen Dank Steffen ^^ Ich wünsche dir noch einen schönen, atemberaubenden Tag

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