Cauchy-Schwarz Ungleichung Beweise

02.02.2014, 20:52	JiH50	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Schwarz Ungleichung Beweise Meine Frage: Guten Abend, ich komme mit folgender Aufgabe nicht zurecht und hoffe auf eure Hilfe: " Für zwei Vektoren a und x aus $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ gilt die Cauchy-Schwarz Ungleichung: $\begin{eqnarray} a^{T} x \leq \|a\| * \|x\| \end{eqnarray}$ wobei \|a\| der Betrag des Vektors ist. a) Sei $\begin{eqnarray} A = A_{ij} \in \mathbb R ^{n x n} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \|Ax\| \leq \|\|A\|\| \|x\| \end{eqnarray}$ für jedes x aus den reellen Zahlen gilt, wobei $\begin{eqnarray} \|\|A\|\| = \sqrt{\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij}² } \end{eqnarray}$ die Matrix-Norm von A ist. b) Sei $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R ^{n x n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \in \mathbb R ^{n} \end{eqnarray}$ . Man definiere die Abbildung $\begin{eqnarray} T: R ^{n} --> R ^{n} \end{eqnarray}$ als T(x) = Ax + b. Zeigen Sie, dass T eine Kontraktion ist, falls \|\|A\|\| < 1 gilt. c) Geben Sie eine Matrix $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R ^{n x n} \end{eqnarray}$ mit \|\|A\|\| = 1 und einen Vektor b an, so dass die Abbildung T aus b) keine Kontraktion ist. Auch wenn ihr mir nur bei einer Teilaufgabe hilft, wäre ich euch sehr dankbar. Ich verzweifel einfach an dieser Aufgabe Meine Ideen:* a) Ich bin mir nicht sicher, aber muss man hier mit einem indirekten Beweis argumentieren? Also erst annehmen, dass diese Ungleichung gilt und dadurch irgendwie auf die Cauchy Schwarz Ungleichung kommen?!?! Falls ja, hätte ich trotzdem keine Idee, wie man dies machen soll... b) Was ist eine Kontraktion? In der Vorlesung wurde sowas nie erklärt und aus Google werde ich auch nicht schlauer... c) Ohne Verständnis für Teilaufgabe b) kann ich diese Aufgabe auch nicht lösen... Schonmal vielen Dank im Voraus, ich bin für jede Hilfe dankbar!! Mit freundlichen Grüßen JiH
03.02.2014, 09:06	JiH50	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat niemand einen Ansatz oder ein Tipp für mich?
03.02.2014, 10:57	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
In Aufgabe a) würde ich beide Seiten der Ungleichung $\begin{eqnarray} \|\|A\vec x\|\|^2\leq \|\|A\|\|^2\cdot \|\|\vec x\|\|^2 \end{eqnarray}$ einfach ausrechnen: Bezeichnet man die Zeilen der Matrix A mit $\begin{eqnarray} \vec a_1, \vec a_2,..., \vec a_n \end{eqnarray}$ , so kann man diese Ungleichung schreiben als $\begin{eqnarray} (\vec a_1\vec x)^2+(\vec a_2\vec x)^2+...+(\vec a_n\vec x)^2\leq (\vec a_1^2+\vec a_2^2+...+\vec a_n^2)\cdot \vec x^2 \end{eqnarray}$ Vergeicht man jeweils die k-ten Summanden auf beiden Seiten, ergibt sich wegen der Schwartzschen Ungleichung $\begin{eqnarray} (\vec a_k\vec x)^2\leq \vec a_k^2\cdot \vec x^2 \end{eqnarray}$ Damit ist der Beweis erbracht, denn wenn alle einzelnen Summanden auf der linken Seite paarweise kleiner sind, muss auch die Summe insgesamt kleiner sein. Zu Aufgabe c): Eine Kontraktion T ist eine Abbildung, die das Argument verkürzt, also $\begin{eqnarray} \|\|T\vec x\|\|<\|\|\vec x\|\| \end{eqnarray}$
05.02.2014, 20:42	JiH50	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Habe es fast verstanden. Aber was soll a1 zum Quadrat heissen? Ein Zeilenvektor zum Quadrat ? Was bedeutet das? Ist \|\|A\|\| zum Quadrat nicht einfach: Alle Komponenten quadrieren und dann aufsummieren ?
06.02.2014, 09:20	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die k-te Zeile der Matrix A habe ich bezeichnet mit $\begin{eqnarray} \vec a_k=(a_{k1}\|a_{k2}\|...\|a_{kn}) \end{eqnarray}$ Das Betragsquadrat des k-ten Zeilenvektors ist also $\begin{eqnarray} \vec a_k^2=a_{k1}^2+a_{k2}^2+...+a_{kn}^2 \end{eqnarray}$ Das Normquadrat \|\|A\|\|² der Matrix A ist (wie du richtig schreibst) die Summe der Quadrate alle n² Matrixelemente. Das ist aber nichts anderes wie die Summe der Quadrate aller n Zeilenvektoren, also $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|^2=\underbrace{(a_{11}^2+a_{12}^2+...+a_{11n}^2)}_{\vec a_1^2}+\underbrace{(a_{21}^2+a_{22}^2+...+a_{2n}^2)}_{\vec a_2^2}+...+\underbrace{(a_{n1}^2+a_{n2}^2+...+a_{nn}^2)}_{\vec a_n^2} \end{eqnarray}$
06.02.2014, 17:37	JiH50	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso! Aber dann müsste man doch auch die Betragsstriche hinschreiben oder nicht? Dann würde folgendes da stehen? $\begin{eqnarray} (\vec a_1\vec x)^2+(\vec a_2\vec x)^2+...+(\vec a_n\vec x)^2\leq (\|\vec a_1\|^2+\|\vec a_2\|^2+...+\|\vec a_n\|^2)\cdot \|\vec x\|^2 \end{eqnarray}$ Korrekt? ^^
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