Monotonie und Beschränktheit einiger Folgen

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02.02.2014, 22:12	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonie und Beschränktheit einiger Folgen Folgende Folgen sollen auf Monotonie/Beschränktheit hin untersucht werden: $\begin{eqnarray} a_n = n^3, \ \ n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_n = \sum_{k=1}^n (\frac 1 k - \frac 1 {k+1}), \ \ n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_n = \frac 1 {n^2}, \ \ n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d_n = \frac{1}{10^n}, \ \ n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ ist ja offensichtlich streng monoton steigend, nach oben hin unbeschränkt. Infimum; $\begin{eqnarray} \inf a_n = 1 \end{eqnarray}$ . Wenn die Folge nach oben hin unbeschränkt ist.. sagt man dann, dass sie als Ganzes unbeschränkt ist? Beim zweiten war ich mir gar nicht so sicher, hab einfach mal die ersten Folgeglieder ausgerechnet: $\begin{eqnarray} b_1 = - \frac 1 2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b_2 = \frac 2 6 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b_3 = \frac 5 {12} \end{eqnarray}$ . Na ja das müsste eine Nullfolge sein, daher streng monoton fallend. Die Folge ist beschränkt mit $\begin{eqnarray} \inf b_n = - \frac 1 2 \end{eqnarray}$ , aber wie erhalte ich das Supremum? $\begin{eqnarray} (c_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ ist auch eine Nullfolge, streng monoton fallend, beschränkt; $\begin{eqnarray} \sup c_n = 1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \inf c_n = 0 \end{eqnarray}$ ? Und $\begin{eqnarray} (d_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ müsste am "schnellsten" gegen Null konvergieren, streng monoton fallend, beschränkt mit $\begin{eqnarray} \sup d_n = 1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \inf d_n = 0 \end{eqnarray}$ . Ist das so okay?
02.02.2014, 22:18	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Denke über $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ nochmal nach. Stichwort Teleskopsumme. Edit: Bei unbeschränkten Folgen wie $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ definiert man das Supremum manchmal als $\begin{eqnarray} \sup a_n=\infty \end{eqnarray}$ Zumindest wir hatten das so gemacht. Ich kann jetzt nicht mit Gewissheit sagen, dass das so üblich ist.
02.02.2014, 22:23	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wusste, dass mir die Folge irgendwie bekannt vorkommt. Edit: Okay damit wäre $\begin{eqnarray} \inf b_n = 1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \sup b_n = 0 \end{eqnarray}$ . Aber zu deiner Schreibweise; die erste Folge ist trotzdem nach oben hin unbeschränkt? Edit2: Ja ist eine Teleskopsumme, sorry.
02.02.2014, 22:26	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Setzte mal für k die Werte 1, 2 und 3 ein ohne dabei irgendwas auszurechnen. Was fällt auf?
02.02.2014, 22:28	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass die inneren Terme sich alle wegkürzen, es bleibt nur der Anfangs- und Endterm übrig $\begin{eqnarray} \rightarrow \end{eqnarray}$ Teleskopsumme. Stimmt $\begin{eqnarray} (b_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ nun?
02.02.2014, 22:35	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die erste Folge ist nach oben in unbeschränkt. Bei b_n bringst du Infimum und Supremum gerade ein bisschen durcheinander. Das Infimum kann ja nicht größer sein als das Supremum. Den Wert Null nimmt die Reihe auch nie an.
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02.02.2014, 22:41	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay also: $\begin{eqnarray} b_n = \sum_{k=1}^n (\frac 1 k - \frac{1}{k+1}) = 1 - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ Somit $\begin{eqnarray} \inf b_n = \frac 1 2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \sup b_n = 1 \end{eqnarray}$ ?
02.02.2014, 22:42	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau.
02.02.2014, 22:46	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
danke.
02.02.2014, 22:53	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen.

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