Folgen auf Konvergenz untersuchen

03.02.2014, 05:40	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen auf Konvergenz untersuchen Ich bin etwas ratlos gerade, Konvergenz haben wir folgendermaßen definiert: Eine Folge $\begin{eqnarray} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , falls: $\begin{eqnarray} \forall \varepsilon > 0 \ \ \ \ \exists N \in \mathbb N : \| a_n - a \| < \varepsilon \ \ \ \ \forall n \geq N \end{eqnarray}$ a nennt man den Grenzwert der Folge. Ansonsten hatten wir nur den Satz, dass jede beschränte und monotone Folge konvergent ist, aber keine anderen Konvergenzkriterien. Eine Aufgabe lautet: "Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz, berechnen Sie ggf. den Grenzwert." $\begin{eqnarray} a_n = (1+\frac 1 n)^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_n = \frac{(n-1)^3}{2n^3 + 3n + 1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_n = \frac{n^2+1}{2n} \end{eqnarray}$ Das klingt fast so als sollte man irgendwelche Konvergenzkriterien anwenden und später erst den Grenzwert berechnen. Muss ich hier mit der Epsilontik herumhantieren? Die erste Folge sieht fast aus wie die Eulerfolge, aber für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ strebt sie gegen 1. Die nächste: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} b_n = \frac 1 2 \end{eqnarray}$ Argumentation; im Zähler wird ja nachm Ausmultiplizieren n³ alleine da stehen (ohne es jetzt tatsächlich auszumultiplizieren), im Nenner ist die größte Potenz ebenfalls n³ bzw. 2n³. Man könnte das zwar noch ausklammern, usw. - aber das sieht man ja sofort, dass das gegen 1/2 konvergieren muss. Die letzte divergiert für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} + \infty \end{eqnarray}$ . Na ja die ersten beiden sind konvergent, aber mir kommt es so vor als hätte ich die Aufgabe irgendwie rückwärts gerechnet... ich sollte ja zuerst auf Konvergenz untersuchen...
03.02.2014, 08:22	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen Die Grenzwerte der Folgen a_n und b_n lassen sich am besten mit den einschlägigen Grenzwertsätzen bestimmen. Siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%...29#Rechenregeln Die Eulerfolge sieht übrigens so aus: $\begin{eqnarray} e_n = (1+\frac 1 n)^n \end{eqnarray}$
03.02.2014, 20:06	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die Regeln wende ich das nächste Mal sauberer an, darum ging es mir ja nicht. Aber was ist denn jetzt mit der Konvergenz, wie untersuche ich die?
03.02.2014, 20:58	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie klarsoweit schon sagte läuft das am besten über die Grenzwertsätze. Dazu betrachtest Du bei $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ zunächst mal die Folge $\begin{eqnarray} \left(\frac 1n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ deren Grenzwert sich leicht bestimmen/beweisen lässt. Bei $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ hilft zunächst eine kleine Umformung: $\begin{eqnarray} \frac{(n-1)^3}{2n^3+3n+1}=\frac{\left(1-\frac 1n\right)^3}{2+\frac 3{n^2}+\frac 1{n^3}}. \end{eqnarray}$ Jetzt lassen sich -abermals mittels Grenzwertsätzen- die Grenzwerte für Zähler und Nenner und somit für den gesamten Bruch angeben.
03.02.2014, 21:05	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Na gut von da an ists ja easy, hatte nur gedacht, dass das etwas anders gehen muss. Danke.

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