Grenzwertberechnung

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Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertberechnung
Sei mit .

a) Berechnen Sie für eine beliebige Folge , mit



b) Berechnen Sie für , und , . Existiert: ?

Hier sieht man, dass ich den Unterschied zwischen einer Folge und einer Funktion noch nicht so wirklich verstanden hab. Ich hab doch eine Funktion gegeben, wie soll ich bei a) jetzt daraus eine beliebige Folge machen?

b):



In beiden Fällen konvergiert die Folge gegen 3. Ob der Grenzwert existiert ist eine gute Frage... könnte ich hier vielleicht den links- und rechtsseitigen Grenzwert ausrechnen oder wie mache ich das?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung
Zitat:
Original von Kimyaci
b):



Möglicherweise meinst du . Du mußt feinfühlig zwischen der Folge x_n und der Folge der Funktionswerte f(x_n) unterscheiden. Eine passende Folge für Aufgabe a zu finden, sollte ja kein Problem sein.
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Darf ich bei a) also jede Folge nehmen oder wie muss das jetzt mit der Funktion f(x) zusammenhängen?

Und wie zeige ich, dass der Grenzwert existiert/nicht existiert, für b)?
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Da klarsoweit gerade nicht online ist:
Zitat:
Original von Kimyaci
Darf ich bei a) also jede Folge nehmen oder wie muss das jetzt mit der Funktion f(x) zusammenhängen?

Du sollst eine beliebige Folge nehmen, deren Grenzwert unendlich ist. Da kennst du sicherlich eine, dann setzt du diese Folge in die Funktion ein und berechnest den Grenzwert. (Beachte, was klarsoweit schon meinte: Unterscheide die Folge und die Folge der Funktionswerte, wenn man die Folge in die Funktion einsetzt).

Zitat:
Original von Kimyaci
Und wie zeige ich, dass der Grenzwert existiert/nicht existiert, für b)?

Du hast ja die Folgen gegeben. Diese setzt du in die Funktion ein und berechnest dann den Grenzwert davon. Ganz straightforward.
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut ich probiere mich mal dran. Die Folge divergiert für gegen , eingesetzt in die Funktion;









Also so etwas?

b)



Jetzt brauche ich aber links- und rechtsseitigen Grenzwert... oder wie löse ich das Problem?
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Du sollst eine beliebige Folge nehmen, deren Grenzwert unendlich ist. Da kennst du sicherlich eine, dann setzt du diese Folge in die Funktion ein


Ne ne, es sollte schon keine spezielle Folge sein und das ist auch gar nicht nötig.

Sei eine beliebige Folge in

Dann gilt offenbar:



und




Und daraus folgt mittels Grenzwertsätzen:

 
 
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mach mal weiter;







Und wie mache ich das bei b)?



Jetzt würde ich ja im Nenner Null herausbekommen... verwirrt
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kimyaci
Ich mach mal weiter;...


Ne, nicht ganz.

Du musst schon drauf achten was deine Voraussetzungen sind und wo du hin willst.

Du hast und folgerst daraus

Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, alles klar.. sorry. Und bei b)?

Ich glaube ich frage jetzt schon zum 10ten Mal nach b). Big Laugh
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne zunächst



und führe dann eine Grenzwertuntersuchung für durch.


Anschließend machst Du das Gleiche für

Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Okay;





Das kommt mir irgendwie bekannt vor...



Grenzwert;







Und nun der andere Grenzwert;









Links- und rechtsseitiger stimmen überein, das heißt der Grenzwert existiert;



Passt das so?

Ich muss dazu aber noch was fragen; welcher von denen ist jetzt rechtsseitig, welcher linksseitig?

Super, ich glaube ich verstehe es jetzt das erste Mal so richtig. smile
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kimyaci
Okay;






Da wär's besser gewesen noch etwas weiter umzuformen, denn wenn der Nenner gegen Null geht, dann ist das erst mal ungünstig.

Also:


und damit liegt das Grenzverhalten auf der Hand.

Die andere Seite kannst Du jetzt noch mal analog verarzten.
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Hm.. hast recht



Für divergieren beide gegen unendlich... d.h. der Grenzwert der Funktion f(x) existiert nicht?
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Grautvornix
Zitat:

Du sollst eine beliebige Folge nehmen, deren Grenzwert unendlich ist. Da kennst du sicherlich eine, dann setzt du diese Folge in die Funktion ein


Ne ne, es sollte schon keine spezielle Folge sein und das ist auch gar nicht nötig.

Du hast natürlich Recht, dass man das so verstehen kann (und so ist es wohl auch gemeint). Man könnte allerdings auch darunter verstehen, dass man eine beliebige Folge hernehmen soll mit der Bedingung und dann den Grenzwert ausrechnen. Hätte man jedenfalls eindeutiger formulieren können.

Zitat:
Original von Kimyaci
Für divergieren beide gegen unendlich... d.h. der Grenzwert der Funktion f(x) existiert nicht?

Ja, aber genauer gesagt: Für x gegen 3 existiert dieser Grenzwert (der in b) gefragte) nicht.
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, mittlerweile denke ich (einfach von der Einschätzung der Professorin her) dass tatsächlich magic heros Ansatz gefragt war - man mithin eine spezielle Folge sich hernehmen soll..

Aber spielt letztendlich ja keine große Rolle. Danke. Wink
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