Zentraler Grenzwert Satz

03.02.2014, 09:45

Arminm

Zentraler Grenzwert Satz

Meine Frage:
Hallo, sitze vor folgender Aufgabe und finde keinen Ansatz unglücklich

Berechnen sie approximativ mit Hilfe des ZGS:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=25}^{75} \binom{100}{k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hatte die Idee das irgendwie in kenne Binomialverteilung umzuschreiben, allerdings verstehe ich nicht ganz wie ich dann was mit dem ZGS approximieren soll...

03.02.2014, 10:06

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Forme ist ja $\begin{eqnarray*} P(X \leq x) = \Phi \Bigg( \frac{x+0.5-n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}} \Bigg) \end{eqnarray*}$

Jedoch musst du erst einmal $\begin{eqnarray*} P(25 \leq X \leq 75) \end{eqnarray*}$ umformen um die Formel auf dein Problem anwenden zu können.

$\begin{eqnarray*} P(25 \leq X \leq 75)=P(X \leq 75)- \ldots \end{eqnarray*}$

Wie geht es weiter ?

Grüße.

Edit: Du hast ja garkeine Verteilung gepostet ? Geht es wirklich um den ZGWS ?

03.02.2014, 10:16

Arminm

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Die Aufgabe ist genauso aus einer Klausur, also mehr Text stand dort nicht...
Was nehme ich denn als X??

03.02.2014, 10:28

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Das was du gepostet hast ist keine Binomialverteilung. Und ich sehe auch nicht, wie man den Ausdruck zu einer solchen umformen könnte. Es fehlt einfach die Wahrscheinlichkeit.

Man könnte den Term mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes berechnen. Das ist im Moment das einzige was mir einfällt.

03.02.2014, 12:11

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kasen75
Und ich sehe auch nicht, wie man den Ausdruck zu einer solchen umformen könnte.

Doch, passend skaliert geht das schon: Mit der symmetrischen Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} X\sim B\left(n,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ , für die ist ja

$\begin{eqnarray*} P(a\leq X\leq b) = \frac{1}{2^n} \sum_{k=a}^b \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ .

03.02.2014, 12:54

Arminm

Auf diesen Beitrag antworten »

Also:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{25}^{75} \binom{100}{k} = 2^{100}*\sum\limits_{25}^{75} \binom{100}{k} (\frac{1}{2})^k *(\frac{1}{2})^{100-k} \end{eqnarray*}$

Das kann man dann einsetzen in den ZGS und kommt auf ein Ergebniss

03.02.2014, 13:06

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es - na dann mal los!

03.02.2014, 15:22

Arminm

Auf diesen Beitrag antworten »

Also der Vollständigkeithalber mal vollständig Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{25}^{75} \binom{100}{k} = 2^{100}*\sum\limits_{25}^{75} \binom{100}{k} (\frac{1}{2})^k *(\frac{1}{2})^{100-k} = 2^{100} * Z \end{eqnarray*}$

Davon ziehen wir nun den Erwartungswert ab und teilen durch die Wurzel von (n* Varianz):

$\begin{eqnarray*} 2^{100}*P(\frac{25-50}{5} \le \frac{Z - 50}{5} \le \frac{75-50}{5}) \end{eqnarray*}$

Dies ist nun standartisiert, konvergiert also gegen die N(0,1) Verteilung, also ist das:

$\begin{eqnarray*} 2^{100}*(\Phi(5) - \Phi(-5)) = 2^{100} * (2\Phi(5)-1) = 2^{100} \end{eqnarray*}$

03.02.2014, 16:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, vermutlich hätte man nicht nach $\begin{eqnarray*} \sum_{k=25}^{75} \binom{100}{k} \end{eqnarray*}$ , sondern nach $\begin{eqnarray*} 2^{100}-\sum_{k=25}^{75} \binom{100}{k} \end{eqnarray*}$ fragen sollen: Würdest du dann mit "0" antworten, oder dich doch bemühen, wenigstens die Größenordung der Abweichung von der vollen Summe $\begin{eqnarray*} 2^{100}=\sum_{k=0}^{100} \binom{100}{k} \end{eqnarray*}$ rauszukrigen? Augenzwinkern

Zunächst mal - Ordung muss sein - die Rechnung mit Stetigkeitskorrekur. Außerdem nennst du sowohl die Zufallsgröße als auch den Wahrscheinlichkeitswert $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ - das geht gar nicht, ich nenne den Wahrscheinlichkeitswert mal $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} p = P(25\leq Z\leq 75) = \Phi\left( \frac{75.5-50}{5} \right) - \Phi\left( \frac{24.5-50}{5} \right) = 2\cdot \Phi(5.1)-1 \end{eqnarray*}$

Vermutlich verlässt 5.1 den Argumentbereich der meisten Tabellen, aber dennoch ist nicht $\begin{eqnarray*} \Phi(5.1)=1 \end{eqnarray*}$ , wenn auch nah dran - aber es ist die Größenordung dieser kleinen Differenz $\begin{eqnarray*} 1-\Phi(5.1) \end{eqnarray*}$ , auf die es hier ankommt, zumindest m.E.

CAS liefern $\begin{eqnarray*} \Phi(5.1) \approx 1- 1.7\cdot 10^{-7} \end{eqnarray*}$ , ein ähnlich gutes Ergebnis erzielt man bereits mit der für große $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gültigen Näherungsformel $\begin{eqnarray*} \Phi(x) \approx 1-\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot x} e^{-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Damit ergibt sich dann oben $\begin{eqnarray*} p \approx 1-3.4\cdot 10^{-7} \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} 2^{100}\cdot p \approx 2^{100} - 4.3\cdot 10^{23} \end{eqnarray*}$ .

Die exakte Rechnung über die Binomialkoeffizienten ergibt übrigens

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=25}^{75} \binom{100}{k} \approx 2^{100} - 2.3\cdot 10^{23} \end{eqnarray*}$ ,

also ist die Güte der Approximation in dem Randbereich hier relativ schlecht - zumindest die Größenordung $\begin{eqnarray*} 10^{23} \end{eqnarray*}$ der Abweichung stimmt. Augenzwinkern

03.02.2014, 18:00

Arminm

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja es war ja als Klausuraufgabe gedacht ohne Taschenrechner, da nach der genauen Größe das Abweichung zu fragen ist glaube ich zuviel des Guten :P

Woher kommt denn diese "Stetigkeitskorrektur"? Die hatten wir soweit ich weiß noch nie benutzt....

04.02.2014, 09:12

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Woher sie kommt? Nun aus dem Bemühen, bei der Approximation möglichst wenig Genauigkeit leichtfertig zu verschenken. Fachlich findest du eine gute Erklärung hier, Kernpunkt ist dabei der folgende Satz:

Zitat:

Original von Huggy
Anschaulich ergibt sich das, wenn du dir jeden diskreten k-Wert in der Binomialverteilung durch einen Streifen von $\begin{eqnarray*} k - 0,5 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} k + 0,5 \end{eqnarray*}$ beim Übergang zur Normalverteilung ersetzt denkst.

Neue Frage »

Antworten »

Zentraler Grenzwert Satz

Verwandte Themen