Vektorwertige Funktion und Parametergleichungen

Neue Frage »

03.02.2014, 21:25	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorwertige Funktion und Parametergleichungen Hallo, ich habe die vektorwertige Funktion $\begin{eqnarray} \vec{r}(t)=\binom{v_0\cos(\theta) t}{v_0\sin(\theta)t-\frac{1}{2}gt^2+h_0} \end{eqnarray}$ gegeben. Wenn ich nun ableite erhalte ich die Geschwindigkeitsfunktion. $\begin{eqnarray} \vec{v}(t)=\binom{v_0\cos(\theta)}{v_0\sin(\theta)-gt} \end{eqnarray}$ Wenn ich nun die Parametergleichungen von $\begin{eqnarray} \vec{r}(t) \end{eqnarray}$ betrachte lauten diese ja: $\begin{eqnarray} x=v_0\cos(\theta) t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=v_0\sin(\theta) t-\frac{1}{2}gt^2+h_0 \end{eqnarray}$ Wenn ich die Paramtergleichungen nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ableite erhalte ich $\begin{eqnarray} v(t)=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{v_0\sin(\theta)-gt}{v_0\cos(\theta)} \end{eqnarray}$ Das heißt ja erstmal das diese beiden Ableitungen gleich sein müssen? Wenn ich mir nun den Spaß erlaube und setze einmal Werte ein, sagen wir: $\begin{eqnarray} v_0=10 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \theta=10° \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t=10 \end{eqnarray}$ Komme ich bei $\begin{eqnarray} \vec{v}(t)=\binom{9,85}{-96,38} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \|\|\vec{v}(t)\|\|=98,86 \end{eqnarray}$ und bei $\begin{eqnarray} v(t)=-9,79 \end{eqnarray}$ Nun müssten die beiden Werte ja gleich sein. Kann mir jemand sagen wo der Fehler ist? Besten Dank!
03.02.2014, 22:12	BigMom	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab's jetzt nur überflogen, aber wenn du $\begin{eqnarray} y(t)=v_0 \sin\theta-\frac{1}{2}gt^2+h_0 \end{eqnarray}$ nach t ableitest, kommt da erstmal sicherlich nicht $\begin{eqnarray} y'(t)=v_0 \sin\theta-gt \end{eqnarray}$ raus.
03.02.2014, 22:16	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Schonmal danke für die Antwort und ich muss mich auch direkt im zweiten Atemzug entschuldigen. Da fehlt nämlich ein $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ . Also es soll $\begin{eqnarray} y(t)=v_0\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^2+h_0 \end{eqnarray}$ lauten. Ich berichtige es in der Fragestellung.
03.02.2014, 22:19	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
die y- Geschwindigkeitskomponente des schrägen Wurfes ist auswendig: $\begin{eqnarray} v_y(t) = v_0-gt \end{eqnarray}$ ------------------------- edit: etwas spät
03.02.2014, 22:48	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ganze Threads werden nie gelöscht! Allenfalls aus gewissen Gründen geschlossen und/oder unkenntlich gemacht. (was meint der Moderator ? ) oder hat sich ergeben, dass die ganze Frage eigentlich keine war ?
03.02.2014, 22:51	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, die Frage besteht noch. Ich habe nur im letzten Post ziemlichen Unfug geschrieben. Kannst du denn $\begin{eqnarray} \vec{v}(t) \end{eqnarray}$ bestätigen? Und wo liegt der Fehler bei $\begin{eqnarray} v(t) \end{eqnarray}$ . Das müsste doch klappen.
Anzeige

03.02.2014, 23:26	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich sage mal frei Bauch: $\begin{eqnarray} \frac {dy}{dx} \end{eqnarray}$ ist die Steigung der Wurfbahn. $\begin{eqnarray} \dot r(t) \end{eqnarray}$ ist der momentane Geschwindigkeitsvektor. Reicht das zum Nachdenken ?
03.02.2014, 23:30	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich werde mal eine Nacht drüber schlafen. Schonmal vielen Dank!
05.02.2014, 11:27	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mich dem Problem nun anders angenähert und zwar mit $\begin{eqnarray} y(x)=\tan\theta x-\frac{gx^2}{2v^2\cos\theta}+h_0 \end{eqnarray}$ . Die Darstellung erhält man wenn $\begin{eqnarray} x=v\cos\theta t \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} y=v\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^2+h_0 \end{eqnarray}$ eingesetzt wird. Nun lautet die Ableitung von $\begin{eqnarray} v(x)=y'(x)=\tan\theta -\frac{gx}{v^2\cos^2\theta} \end{eqnarray}$ . Wenn ich nun $\begin{eqnarray} x=v\cos\theta t \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} v(x) \end{eqnarray}$ einsetze erhalte ich: $\begin{eqnarray} v(t)=\tan\theta -\frac{gt}{v\cos\theta} \end{eqnarray}$ Was genau meiner Ableitung $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray}$ entspricht.
05.02.2014, 12:50	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
soweit verständlich, es gibt aber 2 Darstellungen von $\begin{eqnarray} \frac {dy}{dx} \end{eqnarray}$ : 1.) deine , die aber noch t enthält, und diejenige die kein t enthält. Und das ist die, 2.) die ich meinte. Dein $\begin{eqnarray} v(t)=\frac {dy/dt}{dx/dt } \end{eqnarray}$ ist aber imo falsch. v(t) bedeutet den Geschwindigkeitsbetrag zu Zeit t. Und der ist $\begin{eqnarray} = \sqrt {\dot x(t)^2+\dot y(t)^2} \end{eqnarray}$
05.02.2014, 13:17	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorwertige Funktion und Parametergleichungen Ja genau, die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit. Nun ist $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray}$ ja eine Funktion der Zeit genau so wie die Ableitung des Ortsvektors. Ich verstehe nur nicht warum diese beiden Ableitungen ungleich sind.
05.02.2014, 13:33	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}(t) \end{eqnarray}$ ist die zeitabhängige Steigung der Wurfbahn. $\begin{eqnarray} \dot\vec r(t)= \vec v(t) \end{eqnarray}$ ist der zeitabhängige Geschwindigkeitsvektor. Warum sollte das gleich sein ? Ausserdem: Zahl = Vektor ?
05.02.2014, 13:40	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Du verdrehst mir gerade die Wörter im Mund. Ich habe im ersten Post genau beschrieben wie ich gerechnet habe und dort ist nix Zahl=Vektor sondern ich habe ebenfalls den Betrag des Geschwindigkeitsvektors gebildet um die skalaren Größen mit einander vergleichen zu können. Nun gut, wenn das der einzige Unterschied ist, dann sollte es klar sein. Besten Dank!

Neue Frage »

Antworten »

Vektorwertige Funktion und Parametergleichungen

Verwandte Themen