Rekursiv definierte Folge

03.02.2014, 23:53

Kimyaci

Rekursiv definierte Folge

Und weiter gehts. Jetzt kann sich keiner darüber beschweren, dass es zu wenige Threads gäbe. ^^

Aufgabe: Gegeben sei eine rekursiv durch

$\begin{eqnarray*} a_0 = 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{2a_n}{2+a_n} \end{eqnarray*}$

definierte Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N_0} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N_0} \end{eqnarray*}$ konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert. Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass die Folge monoton fallend und beschränkt ist. Nach einem Satz aus der Vorlesung konvergiert $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N_0} \end{eqnarray*}$ dann gegen ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann ist aber auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = a \end{eqnarray*}$ . Eingesetzt in die Rekursionsformel ergibt sich daraus die Gleichung für den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} a = \frac{2a}{2+a} \end{eqnarray*}$

Obwohl schon fast alles im Hinweis erläutert wurde habe ich das immer noch nicht ganz verstanden.

Die ersten Folgeglieder habe ich einfach mal berechnet:

$\begin{eqnarray*} a_0 = 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_1 = \frac 2 3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_2 = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} a_3 = \frac 2 5 \end{eqnarray*}$

Scheint eine Nullfolge zu sein. Der besagte Satz lautet: "Jede monotone und beschränkte Folgen ist konvergent". Damit die Folge monoton fallend ist muss ja $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \leq a_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gelten.

So, nun etwas Formalakrobatik:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a_{n+1} - a_n \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{2 a_n}{2+a_n} - \frac{2a_{n-1}}{2+a_{n-1}} \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{2 a_n}{2+a_n} \leq \frac{2a_{n-1}}{2+a_{n-1}} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ brauche ich keine Fallunterscheidung, der Nenner ist stets nicht-negativ:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 2 a_n \cdot (2+a_{n-1}) \leq 2a_{n-1} \cdot (2+a_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 4 a_n + 2 a_n \cdot a_{n-1} \leq 4a_{n-1} + 2 a_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 2 a_n + a_n \cdot a_{n-1} \leq 2 a_{n-1} + a_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a_n \leq 2 a_{n-1} - a_n \cdot a_{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a_n \leq a_{n-1}(2 - a_n ) \end{eqnarray*}$

Schade, ich rechne mich gerade ins Abseits... wie zeige ich die Monotonie ganz geschickt? Oder soll ich konkrete Werte benutzen? Aber das wäre ja dann nicht allgemein für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

04.02.2014, 00:05

Helferlein

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Wozu setzt Du für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ein? Das verschiebt das Problem doch nur um einen Index. Lass das $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ stehen und schätze dann ab.

04.02.2014, 00:15

Dopap

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wenn es um Vorlesungen etc. geht, warum dann immer alles unter Schulmathe verwirrt

04.02.2014, 00:20

Kimyaci

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Weil ich mir erhofft hatte dadurch die Nicht-Negativität ausnutzen zu können.

Also soll ich $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{2a_n}{2+a_n} \end{eqnarray*}$ abschätzen? Das wäre erst meine zweite Abschätzung überhaupt, also bitte nachsichtig sein. Wie wäre es hiermit;

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{2a_n}{2+a_n} \leq \frac{2a_n}{2a_n} = 1 \end{eqnarray*}$

Damit habe ich jetzt glaube ich mehr die Beschränktheit gezeigt oder? Mir fällt noch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_n} \end{eqnarray*}$ ein für die Abschätzung.. aber ich sehe gerade den Zusammenhang zur Monotonie nicht. Obwohl, ich könnte ja auch monoton fallende Folgen betrachten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_n} \leq \frac{2a_n}{2+a_n} \leq \ldots \end{eqnarray*}$

Mir fällt aber keine obere Abschätzung ein..

@Dopap; weils irgendwie nicht so ganz in die Hochschulmathematik passt... ist halt so ein Zwischending..

04.02.2014, 00:24

Helferlein

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Folgen werden in dieser Form in der Schule nicht gemacht, da hat Dopap schon recht. Ich verschiebs gleich.

Zum Thema: Du sollst nicht $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ abschätzen, sondern $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n \end{eqnarray*}$ indem Du die Definition von $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ausnutzt.

04.02.2014, 00:31

Kimyaci

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Puh.. bin ich jetzt überfragt, wird das nicht einfach nur $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2 \cdot a_{n-1}}{2+a_{n-1}} \end{eqnarray*}$ ?

Oder meinst du so etwas;

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \frac{2 \cdot a_{n-1}}{2+a_{n-1}} \leq \frac{2 \cdot a_{n}}{2+a_{n}} \end{eqnarray*}$

Ich komm nicht drauf. Verrat es mir bitte..

04.02.2014, 00:41

Helferlein

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RE: Rekursiv definierte Folge
Rede ich spanisch oder liegt es an der Uhrzeit?

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} -a_n = \frac{2a_n}{2+a_n}-a_n=...\leq0 \end{eqnarray*}$

04.02.2014, 00:55

Kimyaci

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Na ja ich lerne seit Tagen ununterbrochen.. außerdem bin da noch nicht ganz drin im Thema. Hab vorhin einen blöden Fehler gemacht.

$\begin{eqnarray*} \frac{2a_n}{2+a_n} - a_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{2a_n}{2+a_n} - \frac{a_n \cdot (2+a_n)}{2+a_n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{2a_n - 2a_n - a_n^2}{2+a_n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow - \frac{a_n^2}{2+a_n} \end{eqnarray*}$

Und das ist ja offensichtlich stets kleiner gleich Null;

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow - \frac{a_n^2}{2+a_n} \leq 0 \end{eqnarray*}$

Nun besser?

So viel zur Monotonie.. die Beschränktheit habe ich doch auch schon mit:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{2a_n}{2+a_n} \leq \frac{2a_n}{2a_n} = 1 \end{eqnarray*}$

gezeigt oder? Damit wäre $\begin{eqnarray*} \inf a_n = 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sup a_n = 1 \end{eqnarray*}$ . Die Folge ist nach dem Satz auch konvergent... jetzt nur noch den Grenzwert berechnen. Ists bis hierhin erst mal in Ordnung?

04.02.2014, 01:02

Helferlein

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Und woher weisst Du, dass $\begin{eqnarray*} 2+a_n\geq2a_n \end{eqnarray*}$ ?

Der erste Teil stimmt jetzt, wobei Du alternativ auch einfach die Abschätzung $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac {2a_n}{2+a_n}\leq\frac {2a_n}2=a_n \end{eqnarray*}$ nutzen könntest.

04.02.2014, 01:20

Kimyaci

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Zitat:

(...) die Abschätzung $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac {2a_n}{2+a_n}\leq\frac {2a_n}2=a_n \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \frac{2a_n} 2 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Und woher weisst Du, dass $\begin{eqnarray*} 2+a_n\geq2a_n \end{eqnarray*}$ ?

Hm..das ist unsinnig. Die Folge ist wegen

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{2a_n}{2+a_n} \leq \ldots \end{eqnarray*}$

schon mal nach unten beschränkt. Könnte man da nicht mit $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ irgendwie argumentieren? Die Folge wurde ja mit $\begin{eqnarray*} a_0 = 1 \end{eqnarray*}$ definiert und von da aus fällt sie ja monoton, d.h. sie kann gar keine größeren Werte als 1 annehmen... ?

04.02.2014, 19:18

Helferlein

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Zur ersten Frage: Weil $\begin{eqnarray*} 2+a_n\geq2 \end{eqnarray*}$

Zur zweiten Frage: Du kannst Dich einfach auf den Hinweis, dass $\begin{eqnarray*} a_n\geq0 \end{eqnarray*}$ benutzt werden darf, berufen. Dadurch ist Folge nach unten beschränkt und das bedeutet im Zusammenhang mit der Monotonie ja Konvergenz.

04.02.2014, 19:52

Grautvornix

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Und wenn du Schema-F verlassen magst (entbindet nicht davon es trotzdem mal durchzuziehen!),
dann kannst du durch eine beinahe triviale Induktion zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac 2{n+2}\text{ für alle }n\geq 0 \end{eqnarray*}$

womit das Grenzverhalten dann auf der Hand liegt.

05.02.2014, 01:34

Kimyaci

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Alles klar, mit der Gleichung lässt sich dann auch der Grenzwert berechnen. Danke. Freude

Zitat:

Und wenn du Schema-F verlassen magst (...)

Grundsätzlich gern, aber nicht so kurz vor der Klausur, bin auch zu müde dazu. Vielleicht danach. Augenzwinkern

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