Grenzwert - Betragsfunktion

04.02.2014, 05:56	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert - Betragsfunktion Hab jetzt noch so ca. 10 Grenzwerte berechnet, bei dem hier komme ich nicht weiter: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{\|x\|}{x} \end{eqnarray}$ Da fiel mir erst einmal L'Hôpital ein, aber da ich Schwierigkeiten habe die Betragsfunktion abzuleiten habe ich versucht den links- und rechtsseitigen Grenzwert zu berechnen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \uparrow 0} \frac{\|x\|}{x} = \lim_{h \to 0} \frac{\|+h\|}{+h} = \ldots \end{eqnarray}$ Was mache ich jetzt mit dem Betrag? Hatte überlegt den Betrag einfach wegzulassen, aber x nähert sich ja mit positiven Werten an, nicht h. Was mach ich hier?
04.02.2014, 07:40	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
beim rechtsseitigen Grenzwert [ Die Symbole in Latex kennst du ja bereits] kannst du den Betrag weglassen und beim linksseitigen nach der üblichen Regel über Beträge ( negativ setzen ) verfahren. Die Variable bleibt x.
05.02.2014, 00:26	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, damit erhalte ich einmal $\begin{eqnarray} - \infty \end{eqnarray}$ , einmal $\begin{eqnarray} + \infty \end{eqnarray}$ . Aber ich glaube diese einseitigen Grenzwerte verwirren mich noch etwas. Also so wie ich das Verstanden habe ist der Unterschied; - man nähert sich einer Zahl von einer bestimmten Seite an und darf aber unerlaubte Rechnerein wie 1/h für h->0 machen? Weils ja dann irgendwie doch nicht ganz null wird... oder so? - einmal nähert sich der Grenzwert von der positiven Seite an, einmal von der negativen Seite - und dann darf man den Betrag weglassen?
05.02.2014, 01:26	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert - Betragsfunktion $\begin{eqnarray} \pm \infty \end{eqnarray}$ a.) $\begin{eqnarray} \lim_{x \downarrow 0} \frac{\|x\|}{x} = \lim_{x \downarrow 0} \frac{x}{x} = \lim_{x \downarrow 0} 1 =1 \end{eqnarray}$ b.) $\begin{eqnarray} \lim_{x \uparrow 0} \frac{\|x\|}{x} = \lim_{x \uparrow 0} \frac{-x}{x} = \lim_{x \uparrow 0} (-1)= -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \quad \lim_{x \to 0} \frac{\|x\|}{x} \end{eqnarray}$ existiert nicht.
05.02.2014, 01:30	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Hups, ja hatte gestern auch irgendwie 1 und -1 raus (habs gerade mit einem anderen Grenzwert verwechselt sorry), war mir halt nicht sicher ob ich den Betrag da tatsächlich einfach weglassen darf... weil mir die Argumentation fehlte. Danke.

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